每日一题[3526]谁主沉浮

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#6

已知函数 $f(x)=\dfrac{x-1}{\mathrm e^x}$，$g(x)=|f(x)+m|$，以下结论正确的有（       ）

A．若 $f(x)=a$ 有两个解，则 $0<a<\dfrac{1}{\mathrm e^2}$

B．若 $f(x)=a$ 有两个解 $x_1, x_2$，则 $x_1+x_2>4$

C．对任意 $m\in\mathbb R$，函数 $g(x)$ 都有最小值

D．存在 $m\in\mathbb R$，使得函数 $g(x)$ 都有最大值

答案    ABC．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)=\dfrac{2-x}{\mathrm e^x}$，于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,2)&2&(2,+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\mathrm e^2}&\searrow&0\\ \hline\end{array}$$ 于是选项 $\boxed{A}$ 正确，

对于选项 $\boxed{B}$，有 $$\mathrm e^{x_1}=\dfrac {x_1-1}a,\quad \mathrm e^{x_2}=\dfrac{x_2-1}a,$$ 根据对数平均不等式，有 $$\dfrac{\mathrm e^{x_1}-\mathrm e^{x_2}}{x_1-x_2}<\dfrac{\mathrm e^{x_1}+\mathrm e^{x_2}}2\implies \dfrac1a<\dfrac{x_1+x_2-2}{2a}\implies x_1+x_2>4,$$ 选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，若 $m\geqslant -\dfrac{1}{\mathrm e^2}$，则函数 $g(x)$ 的最小值为 $0$；若 $m<-\dfrac{1}{\mathrm e^2}$，则函数 $g(x)$ 的最小值为 $-\dfrac{1}{\mathrm e^x}-m$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，当 $x\to -\infty$ 时，有 $g(x)\to +\infty$，因此函数 $g(x)$ 没有最大值，选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．