每日一题[3520]归纳证明

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#20

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\left[a_n\right]+\dfrac{1}{a_n-[a_n]}$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2024} [a_k]=$ （       ）

A．$2024^2-1$

B．$2024^2$

C．$2024^2+1$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} a_2&=\left[\sqrt 2\right]+\dfrac{1}{\sqrt 2-\left[\sqrt 2\right]}=1+\dfrac{1}{\sqrt 2-1}=2+\sqrt 2\\ a_3&=\left[2+\sqrt 2\right]+\dfrac{1}{2+\sqrt 2-\left[2+\sqrt 2\right]}=3+\dfrac{1}{\sqrt 2-1}=4+\sqrt 2,\end{split}$$ 猜想 $a_n=2(n-1)+\sqrt 2$，并容易验证，因此 $$\sum_{k=1}^{2024} [a_k]=\sum_{k=1}^{2024}\left(2k-1\right)=2024^2.$$