每日一题[3518]解构图形

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#18

在 $\triangle A B C$ 中，若 $D$ 在 $B C$ 上，$A D$ 平分 $\angle B A C$，$A B=A D=3$，$C D= 2$，则 $\triangle A B C$ 的周长位于区间（       ）

A．$(9,10)$

B．$(10,11)$

C．$(11,12)$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    如图，设 $BD=x$，$AC=y$，则由 $AD$ 平分 $\angle BAC$ 可得

$$\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\implies\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{y}\implies xy=6.$$

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 中分别应用余弦定理，可得

$$\cos\angle BAD=\cos\angle DAC\implies \dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2\cdot AB\cdot AD}=\dfrac{AD^2+AC^2-DC^2}{2\cdot AD\cdot AC},\tag{1}$$ 即 $$\dfrac{18-x^2}{18}=\dfrac{5+y^2}{6y}\implies 2x^3+5x^2-36x+36=0,\tag{2}$$ 注意到当 $B=C$ 时可以产生满足式 $(1)$ 的增根 $(x,y)=(2,3)$，于是方程 $(2)$ 可以分解为 $$(x-2)(2x-3)(x+6)=0,$$ 从而 $x=1.5$，进而 $\triangle ABC$ 的周长为 $5+x+y=10.5$．