每日一题[3515]小小放缩

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#15

在 $\triangle A B C$ 中，若 $BC=2$，$CA=\sqrt{2}$，$AB=2 \sqrt{2}$，$D$ 在 $B C$ 上，比较 $A D^2$ 与 $2 D B \cdot D C$ 的大小的结果为（       ）

A．$A D^2>2 D B \cdot D C$

B．$A D^2<2 D B \cdot D C$

C．$A D^2=2 D B \cdot D C$

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    根据题意，有 $$\dfrac{2DB\cdot DC}{AD^2}=\dfrac{2\sin \angle BAD\cdot \sin\angle DAC}{\sin B\sin C}=\dfrac{\cos(\angle BAD-\angle DAC)-\cos(\angle BAD+\angle DAC)}{\sin B\sin C}\leqslant \dfrac{1-\cos A}{\sin B\sin C},$$ 等号当 $\angle BAD=\angle DAC$ 时取得，而注意到 $A$ 为锐角，于是 $$\dfrac{1-\cos A}{\sin B\sin C}<\dfrac{1-\cos^2A}{\sin B\sin C}=\dfrac{BC^2}{CA\cdot AB}=1,$$ 因此 $2DB\cdot DC<AD^2$．