2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#14
在 $\triangle A B C$ 中，若 $B C$ 边上的高为 $\dfrac{1}{3} a$，则 $\dfrac{(b+c)^2}{b c}$ 可能是（ ）
A．$5$
B．$6$
C．$7$
D．以上答案都不对
答案 A．
解析 根据三角形面积可得\[\dfrac 12bc\sin A=\dfrac 12\cdot a\cdot \dfrac 13a\implies bc\sin A=\dfrac13a^2,\]根据余弦定理可得\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,\]因此\[bc\sin A=\dfrac 13(b^2+c^2-2bc\cos A),\]整理可得\[\dfrac{(b+c)^2}{bc}=2+3\sin A+2\cos A=2+\sqrt{13}\sin\left(A+\arctan\dfrac 23\right),\]考虑到当 $A$ 在距离直线 $BC$ 为 $\dfrac 13a$ 的直线上运动时，$\angle A$ 的大小取值范围是 $\left(0,2\arctan\dfrac 32\right]$，从而所求最大值为 $2+\sqrt{13}$，而最小值由均值不等式易得为 $4$，所求代数值的取值范围是 $\left[4,2+\sqrt{13}\right]$