每日一题[3514]引参表达

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#14

在 $\triangle A B C$ 中，若 $B C$ 边上的高为 $\dfrac{1}{3} a$，则 $\dfrac{(b+c)^2}{b c}$ 可能是（       ）

A．$5$

B．$6$

C．$7$

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    根据三角形面积可得

$$\dfrac 12bc\sin A=\dfrac 12\cdot a\cdot \dfrac 13a\implies bc\sin A=\dfrac13a^2,$$ 根据余弦定理可得 $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$ 因此 $$bc\sin A=\dfrac 13(b^2+c^2-2bc\cos A),$$ 整理可得 $$\dfrac{(b+c)^2}{bc}=2+3\sin A+2\cos A=2+\sqrt{13}\sin\left(A+\arctan\dfrac 23\right),$$ 考虑到当 $A$ 在距离直线 $BC$ 为 $\dfrac 13a$ 的直线上运动时，$\angle A$ 的大小取值范围是 $\left(0,2\arctan\dfrac 32\right]$，从而所求最大值为 $2+\sqrt{13}$，而最小值由均值不等式易得为 $4$，所求代数值的取值范围是 $\left[4,2+\sqrt{13}\right]$