每日一题[3512]节节高升

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#12

称正整数 $n$ 为好数，当它各位数字均不相同，且对于所有正整数 $m$ 满足 $\left[\dfrac{n}{10^m}\right]>0$，都有 $\left[\dfrac{n}{10^m}\right]\mid n$，则最大的好数在以下哪个区间？（       ）

A．$(0,1000)$

B．$(1000,2000)$

C．$(2000,3000)$

D．以上答案都不对

答案    D．

解析    设 $n=\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_2 a_1}$，则 $$\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_2}\mid n,\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_3}\mid n,\cdots,\overline{a_k}\mid n,$$ 从而 $$\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_2}\mid \overline{a_1},\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_3}\mid \overline{a_2a_1},\cdots,\overline{a_k}\mid \overline{a_{k-1}\cdots a_1},$$ 由 $\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_2}\mid \overline{a_1}$ 可得 $k=2$ 或 $a_1=0$，为了求出最大的好数，可得 $a_1=0$．此时由 $\overline{a_k a_{k-1}\cdots a_3}\mid \overline{a_2a_1}$ 且 $a_2\ne 0$（$n$ 的各位数字均不相同），于是 $k\leqslant 4$，此时 $\overline{a_4a_3}\mid \overline{a_20}$，于是 $$\overline{a_4a_3}\leqslant \dfrac 12\overline{a_20}\leqslant \dfrac 12\cdot 90=45,$$ 从而 $a_4\leqslant 4$． 若 $a_4=4$，则 $a_2=8,9$，经验证无解； 若 $a_4=3$，则 $a_2=6,7,8,9$，经验证最大的好数为 $3570$．