2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#11
用 $S(n)$ 表示正整数 $n$ 的各位数码之和，则满足 $S(n+1)$ 与 $S(n)$ 均为 $5$ 的倍数的 $n$ 的最小值（ ）
A．是四位数
B．是不大于 $50000$ 的五位数
C．大于 $50000$
D．以上答案都不对
答案 B．
解析 根据题意，设计算 $n$ 与 $1$ 的和时进位 $t$ 次，则\[S(n+1)=S(n)+t-9,\]于是 $t\equiv 4\pmod 5$ 从而 $t\geqslant 4$，也即 $n$ 的末尾至少有 $4$ 个 $9$，又 $S(n)$ 为 $5$ 的倍数，因此 $n$ 的最小值为 $49999$．