每日一题[3510]焦点三角形

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#10

已知椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$F_1, F_2$ 是两个焦点，$P$ 是椭圆上一点，且 $\angle F_1 P F_2=\dfrac{\pi}{3}$，$\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=3$，则 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt 3}{4}$

B．$\dfrac{9\sqrt 3}{32}$

C．$\dfrac{3\sqrt 3}8$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    记 $\left|P F_1\right|=m$，$\left|P F_2\right|=n$，则由余弦定理可得

$$|F_1F_2|^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2\cdot |PF_1|\cdot |PF_2|\cdot \cos\angle F_1PF_2=m^2+n^2-mn,$$ 于是椭圆离心率为 $$\dfrac{|F_1F_2|}{|PF_1|+|PF_2|}=\dfrac{\sqrt{m^2+n^2-mn}}{m+n},$$ 从而 $$\begin{cases} \dfrac{\sqrt{m^2+n^2-mn}}{m+n}=\dfrac{\sqrt 3}2,\\ m-n=3,\end{cases}\iff \begin{cases} (m-n)^2+mn=\dfrac 34\left((m-n)^2+4mn\right),\\ m-n=3,\end{cases}\implies mn=\dfrac 98,$$ 因此 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为 $\dfrac 12mn\sin\angle F_1PF_2=\dfrac{9\sqrt 3}{32}$．