每日一题[3504]分段计数

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#4

数列 $1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, \cdots$ 的第 $2024$ 项模 $5$ 的余数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$4$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    设 $S_k=1+2+\cdots+k=\dfrac{k(k+1)}2$，则 $$a_t=k,~S_{k-1}< t\leqslant S_k,$$ 而 $S_{63}=2016<2024<2080=S_{64}$，于是 $a_{2024}=64$，模 $5$ 的余数为 $4$．