2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #14
已知 maxx∈A{f(x,y)} 表示函数 f(x,y) 当自变量 x∈A 时的最大值，minx∈A{f(x,y)} 表示函数 f(x,y) 当自变量 x∈A 时的最小值，已知函数 f(x,y)=−5xy+53(x+y)−2，则 minx∈[0,1]{maxy∈[0,1]){f(x,y)}}= _____．
答案 −139．
解析 根据题意，有\[\begin{split} \max \limits_{y \in[0,1])}\{f(x, y)\}&=\max \limits_{y \in[0,1])}\left\{5\left(\dfrac 13-x\right)y+\dfrac 53x-2\right\}\\
&=\begin{cases} f(x,1),&x\leqslant \dfrac 13,\\
f(x,0),&x>\dfrac13,\end{cases}\\
&=\begin{cases} -\dfrac{10}3x-\dfrac13,&x\leqslant\dfrac13,\\
\dfrac 53x-2,&x>\dfrac 13,\end{cases}\end{split}\]于是\[\min\limits_{x \in[0,1]}\left\{\max \limits_{y \in[0,1])}\{f(x, y)\}\right\}=f\left(\dfrac 13,1\right)=-\dfrac{13}9.\]