2024年5月湖北省武汉市调研试卷#17
已知双曲线 $E: x^2-y^2=1$，直线 $PQ$ 与双曲线 $E$ 交于 $P,Q$ 两点，直线 $MN$ 与双曲线 $E$ 交于 $M,N$ 两点．
1、若直线 $MN$ 经过坐标原点，且直线 $PM,PN$ 的斜率 $k_{PM},k_{PN}$ 均存在，求 $k_{PM}\cdot k_{PN}$；
2、设直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的交点为 $T(1,2)$，且 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}=\overrightarrow{TM}\cdot\overrightarrow{TN}$，证明：直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的斜率之和为 $0$．
解析
1、若直线 $MN$ 经过坐标原点，则根据对称性，点 $M$ 与点 $N$ 关于双曲线的中心（即坐标原点对称），根据双曲线的垂径定理，有\[k_{PM}\cdot k_{PN}=e^2-1=1,\]其中 $e$ 为双曲线 $E$ 的离心率（为 $\sqrt 2$）．
2、设过点 $T$ 的直线 $l$（不与 $x$ 轴垂直的）参数方程为 $x=1+t$，$y=2+kt$，与双曲线 $E$ 交于点 $A,B$，与双曲线 $E$ 的方程联立可得\[(1+t)^2-(2+kt)^2=1\iff (1-k^2)t^2+(2-4k)t-4=0,\]则\[\overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}=\dfrac{-4}{1-k^2}\cdot |\boldsymbol n|^2=\dfrac{4(k^2+1)}{k^2-1}=4\left(1+\dfrac{2}{k^2-1}\right),\]其中 $\boldsymbol n$ 为直线 $l$ 的方向向量．这样就有 $\overrightarrow{TA}\cdot \overrightarrow{TB}$ 是关于 $k^2$ 的单调函数，因此由 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}=\overrightarrow{TM}\cdot\overrightarrow{TN}$ 可得直线 $PQ$ 与直线 $MN$ 的斜率平方相等，进而可得其斜率之和为 $0$．