每日一题[3494]接切形体

2024年5月湖北省武汉市调研试卷#14

已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为 $1: 2$ ，其内切球的半径为 $1$ ，则该正四棱台的体积为_____．

答案 $\dfrac{28}3$ ．

解析如图，作正四棱台的轴截面， $M,N,H$ 分别为内切球在上底面、下底面、侧面的切点．

设 $|AM|=x$ ， $|DN|=2x$ ，则该四棱台的体积为

\frac{(2 x)^{2} + (4 x)^{2} + 2 x \cdot 4 x}{3} \cdot 2 = \frac{56 x^{2}}{3},

$\dfrac {(2x)^2+(4x)^2+2x\cdot 4x}3\cdot 2=\dfrac {56x^2}3,$ 在直角三角形

A I D

$AID$ 中，有

| A D |^{2} = | I A |^{2} + | I D |^{2} = (1 + x^{2}) + (1 + 4 x^{2}) = 2 + 5 x^{2},

$|AD|^2=|IA|^2+|ID|^2=(1+x^2)+(1+4x^2)=2+5x^2,$ 又

| A D |^{2} = (| D N | - | A M |)^{2} + | M N |^{2} = x^{2} + 4,

$|AD|^2=(|DN|-|AM|)^2+|MN|^2=x^2+4,$ 于是可得

x^{2} = \frac{1}{2}

$x^2=\dfrac 12$ ，因此所求体积为

\frac{28}{3}

$\dfrac{28}3$ ．

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