每日一题[3491]函数最值

2024年5月湖北省武汉市调研试卷#8

在三角形 $ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且满足 $c^2-a^2=a b$，$c=2$，则当 $\triangle ABC$ 面积取最大值时，$\cos C=$（        ）

A．$\dfrac{\sqrt 3-1}2$

B．$\dfrac{\sqrt 3+1}4$

C．$\dfrac{2-\sqrt 2}2$

D．$\dfrac{2+\sqrt 2}4$

答案    A．

解析    根据正弦定理结合三角平方差公式，有

$$c^2-a^2=ab\iff \sin(C+A)\sin (C-A)=\sin A\sin B\iff \sin(C-A)=\sin A,$$ 于是 $C-A=\pi -A$（舍去）或 $C-A=A$，因此 $A=\dfrac 12C$，$B=\pi-\dfrac 32C$，$C$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{2\pi}3\right)$，且 $\triangle ABC$ 的面积 $$S=\dfrac 12bc\sin A=\dfrac{c^2\sin A\sin B}{2\sin C}=\dfrac{c^2\left(\cos (A-B)-\cos(A+B)\right)}{4\sin C}=\dfrac{c^2(\cos C-\cos 2C)}{4\sin C},$$ 令 $x=\cos C$，$t$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 12,1\right)$，则 $$\left(\dfrac{\cos C-\cos 2C}{\sin C}\right)^2=\dfrac{(x+x-2x^2)^2}{1-x^2}=\dfrac{1+3x-4x^3}{1+x},$$ 记等式右侧函数为 $f(x)$，则其导函数 $$f'(x)=\dfrac{2(1-6x^2-4x^3)}{(1+x)^2}=\dfrac{2(1+2x)(-1+2x+2x^2)}{(1+x)^2},$$ 仅当 $x=\dfrac{\sqrt 3-1}2$ 时 $f(x)$ 取得最大值，因此所求值为 $\dfrac{\sqrt 3-1}2$．