每日一题[3489]递推概率

2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#19

某校数学兴趣小组由水平相当的 $n$ 位同学组成，他们的学号依次为 $1,2,3,\cdots,n$．辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为 $\dfrac 1 2$，每个同学的答题过程都是相互独立的，挑战的具体规则如下：

① 挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；

② 挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第 $1$ 号同学开始第 $1$ 轮挑战；

③ 若第 $i$（$i=1,2,3,\cdots,n-1$）号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第 $i$ 轮挑战失败，由第 $i+1$ 号同学继续挑战；

④ 若第 $i$（$i=1,2,3,\cdots,n-1$）号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功，挑战在第 $i$ 轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第 $i$ 轮挑战失败，由第 $i+1$ 号同学继续挑战；

⑤ 若挑战进行到了第 $n$ 轮，则不管第 $n$ 号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战．令随机变量 $X_n$ 表示 $n$ 名挑战者在第 $X_n$（$X_n=1,2,3,\cdots,n$）轮结束．

1、求随机变量 $X_4$ 的分布列．

2、若把挑战规则 ① 去掉，换成规则 ⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．

令随机变量 $Y_n$ 表示 $n$ 名挑战者在第 $Y_n\left(Y_n=1,2,3,\cdots,n\right)$ 轮结束．求随机变量 $Y_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 2$）的分布列，并证明

$$E\left(Y_2\right)<E\left(Y_3\right)<E\left(Y_4\right)<E\left(Y_5\right)<\cdots<E\left(Y_n\right)<\cdots<3.$$

解析

1、根据题意，有\[P\left(X_4=k\right)=\left(1-\dfrac 1 2\cdot \dfrac 1 2\right)^{k-1}\cdot \dfrac 1 4~(k=1,2,3),\quad P\left(X_4=4\right)=\left(\dfrac 3 4\right)^3,\]
因此 $X_4$ 的分布列为\[

$$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline X_4 & 1 & 2 & 3 & 4\\\hline P & \dfrac 1 4 & \dfrac 3{16} & \dfrac 9{64} & \dfrac{27}{64}\\\hline \end{array}$$ \]

2、根据题意，有

$$P(Y_n=k)=k\cdot \left(\dfrac 12\right)^{k+1}~(k=1,2,\cdot,n-1),\quad P(Y_n=n)=(n+1)\cdot \left(\dfrac 12\right)^n,$$ 于是 $$E(Y_n)=\sum_{k=1}^{n-1}k^2\cdot \left(\dfrac 12\right)^{k+1}+n(n+1)\cdot \left(\dfrac 12\right)^n,$$ 从而 $$\begin{split} E(Y_{n+1})-E(Y_n)&=n^2\cdot \left(\dfrac 12\right)^{n+1}+(n+1)(n+2)\cdot \left(\dfrac 12\right)^{n+1}-n(n+1)\cdot \left(\dfrac 12\right)^n\\ &=\left(\dfrac 12\right)^{n+1}\left(n^2+(n+1)(n+2)-2n(n+1)\right)\\ &=(n+2)\cdot \left(\dfrac 12\right)^{n+1},\end{split}$$ 又 $E(Y_2)=\dfrac 74$，因此 $$E(Y_n)=E(Y_2)+\sum_{k=3}^n(k+1)\cdot \left(\dfrac 12\right)^k=\sum_{k=1}^n(k+1)\cdot \left(\dfrac 12\right)^k=3-(n+3)\cdot \left(\dfrac 12\right)^n,$$ 因此 $E(Y_n)$ 随着 $n$ 单调递增且有上界 $3$，命题得证．