每日一题[3488]定点定值

2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#18

己知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率 $e=\sqrt 2$，$P_1,P_2$ 分别为其两条渐近线上的点，若满足 $\overrightarrow{P_1 P}=\overrightarrow{PP_2}$ 的点 $P$ 在双曲线上，且 $\triangle OP_1 P_2$ 的面积为 $8$，其中 $O$ 为坐标原点．

1、求双曲线 $C$ 的方程．

2、过双曲线 $C$ 的右焦点 $F_2$ 的动直线与双曲线相交于 $A,B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$，使 $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ 为定值？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解析

1、由双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt 2$ 可得该双曲线是等轴双曲线，渐近线方程为 $y=\pm x$，不妨设 $P_1(2m,2m)$，$P_2(2n,-2n)$，则 $P(m+n, m-n)$，且

$$[\triangle OP_1P_2]=\dfrac 12\cdot |OP_1|\cdot |OP_2|=\dfrac 12\cdot 2\sqrt 2m\cdot 2\sqrt 2n=4mn=8,$$ 进而有 $$(m+n)^2-(m-n)^2=4mn=8,$$ 因此所求双曲线 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}8=1$．

2、根据题意，有 $F_2(4,0)$，设 $AB:x=ty+4$，$M(m,0)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立直线与双曲线的方程可得

$$(ty+4)^2-y^2=8\iff (t^2-1)y^2+8ty+8=0,$$ 于是 $$\begin{split} \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}&=(x_1-m)(x_2-m)+y_1y_2\\ &=\left(ty_1+4-m\right)\left(ty_2+4-m\right)+y_1y_2\\ &=(t^2+1)y_1y_2+t(4-m)(y_1+y_2)+(4-m)^2\\ &=\dfrac{8(t^2+1)-8t^2(4-m)}{t^2-1}+(4-m)^2\\ &=\dfrac{-8\left((3-m)t^2-1\right)}{t^2-1}+(4-m)^2,\end{split}$$ 因此当 $m=2$ 时，$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}$ 为定值 $-4$．