每日一题[3484]抛物线的性质

2024年山东省实验中学高三二模数学试卷#10

已知抛物线 $y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线 $AB$ 交抛物线于 $A\left(x_1,y_1\right),B\left(x_2,y_2\right)$ 两点，$M(3,1)$，则（       ）

A．$x_1+x_2$ 的最小值为 $2$

B．以 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

C．$|MA|+|AF|$ 的最小值为 $4$

D．$|AF|^2+|BF|^2$ 的最小值为 $2$

答案    ABC．

解析    根据题意，有 $F(1,0)$，且根据抛物线的平均性质，有 $x_1x_2=1$．

对于选项 $\boxed{A}$，有 $x_1+x_2\geqslant 2\sqrt {x_1x_2}=2$，等号当 $x_1=x_2=1$ 时取得，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，设 $AF$ 的中点为 $N$，抛物线的准线为 $l$，则

$$d(N,l)=\dfrac{x_1+1}2=\dfrac 12|AF|,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，有

$$|MA|+|AF|=|MA|+d(A,l)\geqslant d(M,l)=3,$$ 等号当点 $A$ 在点 $M$ 到准线 $l$ 的垂线段上时取得，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$|AF|^2+|BF|^2=(x_1+1)^2+(x_2+1)^2=(x_1^2+x_2^2)+2(x_1+x_2)+2\geqslant 2x_1x_2+4\sqrt{x_1x_2}+2=8,$$ 等号当 $x_1=x_2=1$ 时取得，选项错误；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．