2024年广东四校高三年级第一次联考#14
盒子里装有 $5$ 个小球，其中 $2$ 个红球，$3$ 个黑球，从盒子中随机取出 $1$ 个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则： ① 取了 $3$ 次后，取出红球的个数的数学期望为_____； ② 取了 $n$（$n=2,3,4,\cdots$）次后，所有红球刚好全部取出的概率为_____．
答案 ① $\dfrac{1019}{1000}$；② $\dfrac 8 9\cdot\left(\dfrac 3 4\right)^n-\dfrac{10}9\cdot\left(\dfrac 3 5\right)^n$．
解析 ① 根据题意，按 $3$ 次的取球颜色分类： \[\begin{array}{c|c|c}\hline \text{颜色}&\text{概率}&\text{红球个数}\\ \hline \text{红红黑}&\dfrac 25\cdot \dfrac 14\cdot 1=0.1&2\\ \hline \text{红黑红}&\dfrac 25\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 14=0.075&2\\ \hline \text{红黑黑}&\dfrac 25\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 34=0.225&1\\ \hline \text{黑红红}&\dfrac 35\cdot \dfrac 25\cdot \dfrac 14=0.06&2\\ \hline \text{黑红黑}&\dfrac 35\cdot \dfrac 25\cdot \dfrac 34=0.18&1\\ \hline \text{黑黑红}&\dfrac 35\cdot \dfrac 35\cdot \dfrac 25=0.144&1\\ \hline \text{黑黑黑}&\dfrac 35\cdot \dfrac 35\cdot \dfrac 35=0.216&0\\ \hline \end{array}\] 于是 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline X & 0 & 1 & 2\\\hline P & 0.216 & 0.549 &0.235\\\hline \end{array}\]从而\[E(X)=0\cdot 0.216+1\cdot 0.549+2\cdot 0.235=1.019.\]
② 根据题意，$n$ 次取完即前 $n-1$ 次中有 $1$ 次取得红球，第 $n$ 次取得红球， 所以\[\begin{split} P_n&=\left(\dfrac 2 5\cdot\left(\dfrac 3 4\right)^{n-2}+\dfrac 3 5\cdot\dfrac 2 5\cdot\left(\dfrac 3 4\right)^{n-3}+\left(\dfrac 3 5\right)^2\cdot\dfrac 2 5\cdot\left(\dfrac 3 4\right)^{n-4}+\cdots+\left(\dfrac 3 5\right)^{n-2}\cdot\dfrac 2 5\right)\cdot\dfrac 1 4\\ &=\dfrac 1{10}\cdot\left(\dfrac 3 4\right)^{n-2}\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac 4 5\right)^{n-1}}{1-\dfrac 4 5}\\ &=\dfrac 8 9\cdot\left(\dfrac 3 4\right)^n-\dfrac{10}9\cdot\left(\dfrac 3 5\right)^n.\end{split}\]