每日一题[3463]半不变量

2024年高考北京卷#21

已知集合 $$M=\{(i,j,k,w)\mid i\in\{1,2\},j\in\{3,4\},k\in\{5,6\},w\in\{7,8\},i+j+k+w~\text{为偶数}\}.$$ 给定数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_8$ 和序列 $\Omega:T_1,T_2,\cdots,T_s$，其中 $$T_t=\left(i_t,j_t,k_t,w_t\right)\in M,~t=1,2,\cdots,s,$$ 对数列 $A$ 进行如下变换： 将数列 $A$ 的第 $i_1,j_1,k_1,w_1$ 项均加 $1$，其余项不变，得到的数列记作 $T_1(A)$； 将 $T_1(A)$ 的第 $i_2,j_2,k_2,w_2$ 项加 $1$，其余项不变，得到的数列记作 $T_2 T_1(A)$； 以此类推，得到数列 $T_s\cdots T_2 T_1$，简记为 $\Omega(A)$．

1、给定数列 $A:1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$，写出 $\Omega(A)$；

2、是否存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 为 $$a_1+2,a_2+6,a_3+4,a_4+2,a_5+8,a_6+2,a_7+4,a_8+4?$$ 若存在，写出一个 $\Omega$，若不存在，说明理由；

3、若数列 $A$ 的各项均为正整数，且 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数，求证：存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 的各项均相等的充要条件为 $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{split} T_1(A)&=2,3,3,4,7,3,2,9,\\ T_2T_1(A)&=2,4,3,5,7,4,2,10,\\ T_3T_2T_1(A)&=3,4,4,5,8,4,3,10,\end{split}$$ 于是 $\Omega(A)=3,4,4,5,8,4,3,10$．

2、在 $\Omega (A)=T_s\cdots T_2T_1(A)=b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,b_6,b_7,b_8$ 下，有 $$\begin{cases} b_1+b_2=a_1+a_2+s,\\ b_3+b_4=a_3+a_4+s,\\ b_5+b_6=a_5+a_6+s,\\ b_7+b_8=a_7+a_8+s,\end{cases}\implies \begin{cases} (a_1+2)+(a_2+6)=a_1+a_2+s,\\ (a_3+4)+(a_4+2)=a_3+a_4+s,\\ (a_5+8)+(a_6+2)=a_5+a_6+s,\\ (a_7+4)+(a_8+4)=a_7+a_8+s,\end{cases}$$ 这不可能，因此不存在符合题意的序列 $\Omega$．

3、将 $A,T_1(A),T_2T_1(A),\cdots,T_s\cdots T_2T_1(A)$ 写成 $s+1$ 行 $8$ 列的数表 $N$，用 $N(x,y)$ 表示第 $x$ 行 $y$ 列的数，其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$，$x\leqslant s$，$y\leqslant 8$．

必要性    根据 $T$ 变换的定义，每一行第 $1,2$ 列、第 $3,4$ 列、第 $5,6$ 列、第 $7,8$ 列之和均比前一列对应和多 $1$．而 $\Omega(A)$ 的各项均相等，设最后一行第 $1,2$ 列数之和为 $m$，因此最后一行所有数相同，因此第一行第 $1,2$ 列、第 $3,4$ 列、第 $5,6$ 列、第 $7,8$ 列之和均为 $m-s$，必要性得证．

充分性    若 $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8=m$，则根据 $T$ 变换的定义，有 $$N(k,1)+N(k,2)=N(k,3)+N(k,4)=N(k,5)+N(k,6)=N(k,7)+N(k,8)=m+ (k-1),$$ 且 $N(k,1)+N(k,3)+N(k,5)+N(k,7)$ 始终为偶数． 接下来证明可以通过每次选择在 $N(k,1),N(k,3),N(k,5),N(k,7)$ 选择其中 $2$ 个使其增加 $1$ 的方式，最终使得 $\Omega(A)$ 的各项均相等，即 $$N(k,1)=N(k,3)=N(k,5)=N(k,7),$$ 则考虑 $N(k,1),N(k,3),N(k,5),N(k,7)$ 中最大数与最小数之差 $d$． 若 $d\ne 0$，则按 $N(k,1),N(k,3),N(k,5),N(k,7)$ 中的不同取值个数分类．

情形一     $N(k,1),N(k,3),N(k,5),N(k,7)$ 有 $3$ 个或 $4$ 个不同取值．此时将最小的两个分别加 $1$，则 $d$ 会减小 $1$．

情形二    $N(k,1),N(k,3),N(k,5),N(k,7)$ 有 $2$ 个不同取值．设取值为 $m,n$ 且 $m>n$，此时有三类：

① 取值为 $m,m,n,n$．此时将其变为 $m,m,n+1,n+1$，则 $d$ 会减小 $1$．

② 取值为 $m,m,m,n$．此时 $3m+n$ 为偶数，于是 $m-n$ 为偶数，从而 $m\geqslant n+2$，进而将其变为 $$m+1,m,m,n+1\to m+1,m+1,m,n+2,$$ 则 $d\to (m+1)-(n+2)=m-n-1$，会减小 $1$．

③ 取值为 $m,n,n,n$．此时 $m+3n$ 为偶数，于是 $m-n$ 为偶数，从而 $m\geqslant n+2$，进而将其变为 $$m,n+1,n+1,n\to m,n+2,n+1,n+1,$$ 则 $d\to m-(n+1)=m-n-1$，会减小 $1$．

综上所述，$d$ 会减小到 $0$，然后再通过若干个变换 $(1,3,5,7)$ 或 $(2,4,6,8)$，使得 $N(k,1)=N(k,2)$ 即可，因此命题得证．