每日一题[3459]参数扫描

2024年高考北京卷#10

已知 $M=\left\{(x,y)\mid y=x+t\left(x^2-x\right),0\leqslant t\leqslant 1,1\leqslant x\leqslant 2\right\}$ 是平面直角坐标系中的点集．设 $d$ 是 $M$ 中两点间距离的最大值，$S$ 是 $M$ 表示的图形的面积，则（       ）

A．$d=3$，$S<1$

B．$d=3$，$S>1$

C．$d=\sqrt{10}$，$S<1$

D．$d=\sqrt{10}$，$S>1$

答案    C．

解析    当 $1\leqslant x\leqslant 2$ 时，$x^2-x\geqslant 0$，因此

$$x+0\cdot (x^2-x)\leqslant y\leqslant x+1\cdot (x^2-x)\iff x\leqslant y\leqslant x^2,$$ 因此题中集合表示的图形为如图曲线三角形 $ABC$，其中 $A(1,1)$，$B(2,2)$，$C(2,4)$，$AB,BC$ 均为线段，$AC$ 为 $y=x^2$ 在 $x\in [1,2]$ 的部分．

该图形中两点间最大距离不超过 $\triangle ABC$ 的两点间最大距离，面积小于 $\triangle ABC$ 的面积，因此 $d\leqslant \sqrt{10}$ 且 $S<1$，又 $AC=\sqrt{10}$，$d=\sqrt{10}$，从而选项 $\boxed{C}$ 正确．