2024年高考全国II卷#11
设函数 $f(x)=2 x^3-3 a x^2+1$，则（ ）
A．当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点
B．当 $a<0$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
C．存在 $a,b$ 使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴
D．存在 $a$ 使得点 $(1,f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心
答案 AD．
解析 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=6x^2-6ax=6x(x-a).\]
对于选项 $\boxed{A}$，当 $a>1$ 时，三次函数 $f(x)$ 的极大值为 $f(0)=1$，极小值为 $f(a)=-a^3+1<0$，因此有三个零点，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，当 $a<0$ 时，$x=0$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，当 $x$ 分别趋于 $+\infty,-\infty$ 时，$f(x)$ 分别对应趋于 $+\infty,-\infty$，因此函数 $y=f(x)$ 没有对称轴，选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，三次函数 $f(x)$ 的对称中心为 $\left(\dfrac a2,f\left(\dfrac a2\right)\right)$，因此当 $a=2$ 时符合题意，选项正确．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$．