每日一题[3452]双剑合璧

2024年高考全国I卷#18

已知函数 $f(x)=\ln\dfrac x{2-x}+a x+b(x-1)^3$． 若 $b=0$，且 $f^{\prime}(x)\geqslant 0$，

1、求 $a$ 的最小值；

2、证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；

3、若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，求 $b$ 的取值范围．

解析

1、当 $b=0$ 时，函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,2)$，有

$$f'(x)=a+\dfrac{2}{x(2-x)},$$ 而 $$a+\dfrac{2}{x(2-x)}\geqslant a+\dfrac{2}{\left(\dfrac{x+(2-x)}2\right)^2}=a+2,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，因此 $a$ 的最小值为 $-2$．

2、函数 $y=\ln x-\ln (2-x)$，$y=a(x-1)$，$y=b(x-1)^3$ 均关于点 $(1,0)$ 对称，而

$$f(x)=\left(\ln x-\ln (2-x)\right)+a(x-1)+b(x-1)^3+a,$$ 因此曲线 $f(x)$ 关于 $(1,a)$ 对称，命题得证．

3、由于当 $x\to 2^-$ 时，$f(x)\to +\infty$，且 $f(x)$ 为连续函数，因此 $f(1)=-2$，从而 $a=-2$．结合第 $(2)$ 小题的结论，条件转化为

$$\forall x\in (1,2),~f(x)>-2,$$ 也即 $$\forall x\in (0,1),~f(x+1)>-2,$$ 也即 $$\forall x\in (0,1),~\ln\dfrac{1+x}{1-x}-2x+bx^3>0,$$ 设不等式左侧函数为 $g(x)$，则 $g(0)=0$，其导函数 $$g'(x)=\dfrac{2}{1-x^2}-2+3bx^2=x^2\left(3b+\dfrac{2}{1-x^2}\right),$$ 设 $h(x)=3b+\dfrac{2}{1-x^2}$，则 $h(0)=3b+2$，且 $h(x)$ 在 $[0,1)$ 上单调递增．这样就得到讨论分界点为 $b=-\dfrac 23$．

情形一     $b\geqslant -\dfrac 23$．此时在 $x\in (0,1)$ 上，有

$$h(x)>h(0)=0,$$ 因此 $g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，结合 $g(0)=0$，可得 $g(x)>0$，符合题意．

情形二    $b<-\dfrac 23$．此时在区间 $x\in\left(0,\sqrt{1+\dfrac{2}{3b}}\right)$ 上，有 $h(x)<0$，因此 $g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，结合 $g(0)=0$，可得 $g(x)<0$，不符合题意．

综上所述，实数 $b$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 23,+\infty\right)$．