每日一题[3448]定比点差

2024年高考全国甲卷(理科)#21

已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0)的右焦点为 F,点 M(1,32) 在椭圆 C 上,且 MF 垂直于 x 轴.

1、求椭圆 C 的方程;

2、P(4,0),过 P 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,NFP 的中点,直线 NBMF 交于 Q,证明:AQy 轴.

解析

1、设椭圆 C 的左焦点为 F1,则 |F1F|=2|MF|=32.因为 MFx 轴,所以|MF1|=52,2a=|MF1|+|MF|=4,

解得 a2=4b2=a21=3,故椭圆 C 的方程为 x24+y23=1

2、根据题意,有 N(52,0),设 A(x1,y1)B(x2,y2)AP=λPB,则{x1+λx21+λ=4,y1+λy21+λ=0,{x1+λx2=4+4λ,y1+λy2=0,

进而{x214+y213=1,(λx2)24+(λy2)23=λ2,14x1+λx21+λx1λx21λ+13y1+λy21+λy1λy21λ=1,
代入 P 点坐标可得x1λx21λ=1x1λx2=1λ,
因此 λx2=3+5λ2,设 Q(1,y1),则直线 BQ 的横截距为x2y11y2y1y2=λx2+1λ+1=52,
因此 Q=Q,命题得证.

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