2024年高考全国甲卷(理科)#21
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为 F,点 M(1,32) 在椭圆 C 上,且 MF 垂直于 x 轴.
1、求椭圆 C 的方程;
2、P(4,0),过 P 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,N 为 FP 的中点,直线 NB 与 MF 交于 Q,证明:AQ⊥y 轴.
解析
1、设椭圆 C 的左焦点为 F1,则 |F1F|=2,|MF|=32.因为 MF⊥x 轴,所以|MF1|=52,2a=|MF1|+|MF|=4,
解得 a2=4,b2=a2−1=3,故椭圆 C 的方程为 x24+y23=1.
2、根据题意,有 N(52,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),→AP=λ→PB,则{x1+λx21+λ=4,y1+λy21+λ=0,⟹{x1+λx2=4+4λ,y1+λy2=0,
进而{x214+y213=1,(λx2)24+(λy2)23=λ2,⟹14⋅x1+λx21+λ⋅x1−λx21−λ+13⋅y1+λy21+λ⋅y1−λy21−λ=1,
代入 P 点坐标可得x1−λx21−λ=1⟺x1−λx2=1−λ,
因此 λx2=3+5λ2,设 Q′(1,y1),则直线 BQ′ 的横截距为x2y1−1⋅y2y1−y2=λx2+1λ+1=52,
因此 Q=Q′,命题得证.