每日一题[3448]定比点差

2024年高考全国甲卷（理科）#21

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac 3 2\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $MF$ 垂直于 $x$ 轴．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、$P(4,0)$，过 $P$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$N$ 为 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 与 $MF$ 交于 $Q$，证明：$AQ\perp y$ 轴．

解析

1、设椭圆 $C$ 的左焦点为 $F_1$，则 $\left|F_1 F\right|=2$，$|MF|=\dfrac 3 2$．因为 $MF\perp x$ 轴，所以 $$\left|MF_1\right| =\dfrac 5 2,\quad 2 a=\left|MF_1\right|+|MF|=4,$$ 解得 $a^2=4$，$b^2=a^2-1=3$，故椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．

2、根据题意，有 $N\left(\dfrac 52,0\right)$，设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$，则 $$\begin{cases} \dfrac{x_1+\lambda x _2}{1+\lambda}=4,\\ \dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=0,\end{cases}\implies \begin{cases} x_1+\lambda x_2=4+4\lambda,\\ y_1+\lambda y_2=0,\end{cases}$$ 进而 $$\begin{cases} \dfrac{x_1^2}{4}+\dfrac{y_1^2}{3}=1,\\ \dfrac{(\lambda x_2)^2}{4}+\dfrac{(\lambda y_2)^2}{3}=\lambda^2,\end{cases}\implies \dfrac 14\cdot \dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\cdot \dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda }+\dfrac 13\cdot \dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\cdot \dfrac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda }=1,$$ 代入 $P$ 点坐标可得 $$\dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda }=1\iff x_1-\lambda x_2=1-\lambda,$$ 因此 $\lambda x_2=\dfrac{3+5\lambda}2$，设 $Q'(1,y_1)$，则直线 $BQ'$ 的横截距为 $$\dfrac{x_2y_1-1\cdot y_2}{y_1-y_2}=\dfrac{\lambda x_2+1}{\lambda+1}=\dfrac 52,$$ 因此 $Q=Q'$，命题得证．