每日一题[3447]端点分析

2024年高考全国甲卷（理科）#20

已知函数 $f(x)=(1-a x)\ln (1+x)-x$．

1、当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；

2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=-2$ 时，有 $$f(x)=(1+2 x)\ln (1+x)-x,$$ 其导函数 $$f^{\prime}(x)=2\ln (1+x)+\dfrac x{1+x},$$ 当 $x>0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$，当 $-1<x<0$ 时，$f^{\prime}(x)<0$，所以 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得极小值 $f(0)=0$，没有极大值．

2、注意到 $f(0)=0$，进一步端点分析，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=-a\ln(1+x)-\dfrac{(a+1)x}{1+x},$$ 有 $f'(0)=0$，其二阶导函数 $$f''(x)=\dfrac{(-a)x-(2a+1)}{(1+x)^2},$$ 讨论分界点为 $a=-\dfrac12$．

情形一     $a\leqslant -\dfrac 12$．此时在区间 $x\in [0,+\infty)$ 上，有 $f''(x)>0$，于是 $f'(x)$ 单调递增，结合 $f'(0)=0$ 可得 $f'(x)>0$，因此 $f(x)$ 单调递增，而 $f(0)=0$，符合题意．

情形二     $a>-\dfrac 12$．令 $$\varphi(a)=\begin{cases} -\dfrac 1a-2,&a\in\left(-\dfrac 12,0\right),\\ 1,&a\geqslant 0,\end{cases}$$ 此时在区间 $x\in \left(0,\varphi(a)\right)$ 上，有 $f''(x)<0$，于是 $f'(x)$ 单调递减，结合 $f'(0)=0$ 可得 $f'(x)<0$，因此 $f(x)$ 单调递减，而 $f(0)=0$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$．