每日一题[3443]抛物线的参数方程

两条动直线 $y=k_1 x$ 和 $y=k_2 x$ 分别与抛物线 $C:~ y^2=2 p x$（$p>0$）相交于不同于原点的 $A,B$ 两点，当 $\triangle OAB$ 的垂心恰是 $C$ 的焦点时，$|AB|=4\sqrt 5$．

1、求 $p$．

2、若 $k_1 k_2=-4$，弦 $AB$ 中点为 $P$，点 $M(-2,0)$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $N$ 在拋物线 $C$ 上，求 $\triangle PMN$ 的面积．

解析

1、当 $\triangle OAB$ 的垂心恰是 $C$ 的焦点时，$|OA|=|OB|$，$AF\perp OB$，不妨设 $A\left(\dfrac{10}p,2\sqrt 5\right)$，$B\left(\dfrac{10}p,-2\sqrt 5\right)$，而 $F\left(\dfrac p 2,0\right)$，于是由 $AF\perp OB$ 可得 $$\dfrac{2\sqrt 5}{\dfrac{10}p-\dfrac p 2}\cdot\dfrac{-2\sqrt 5}{\dfrac{10}p}=-1,$$ 解得 $p=2$．

2、设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，$N(4n^2,4n)$，则 $AB:~x-(a+b)y-1=0$，根据题意有 $$k_1k_2=-4\iff \dfrac 1a\cdot \dfrac 1b=-4\iff 4ab=-1,$$ 而 $P(2a^2+2b^2,2a+2b)$，$M(-2,0)$，因此由点 $M$ 关于直线 $AB$ 的对称点在抛物线 $C$ 上，有 $$\begin{cases} \dfrac{4n}{4n^2+2}\cdot \dfrac{1}{a+b}=-1,\\ (2n^2-1)-(a+b)\cdot 2n-1=0,\end{cases}$$ 从而 $a+b=-\dfrac{2n}{2n^2+1}$，且 $$(2n^2-1)+\dfrac{4n^2}{2n^2+1}-1=0\iff (2n^2-1)(n^2+1)=0,$$ 解得 $n^2=\dfrac 12$．不妨设 $n=\dfrac{\sqrt 2}2$，则 $a+b=-\dfrac{\sqrt 2}2$，结合 $4ab=-1$，可得 $P(2,-\sqrt 2)$，$M(-2,0)$，$N(2,2\sqrt 2)$，因此 $\triangle PMN$ 的面积为 $6\sqrt 2$．