每日一题[3442]隐零点估值

已知 $f(x)=-\dfrac 1 2\mathrm e^{2 x}+4\mathrm e^x-a x-5$．

1、当 $a=3$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+x_1+x_2<0$．

解析

1、当 $a=3$ 时函数 $f(x)$ 的导函数

$$f^{\prime}(x)=-\mathrm e^{2 x}+4\mathrm e^x-3=-\left(\mathrm e^x-1\right)\left(\mathrm e^x-3\right),$$ 于是 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,\ln 3)$，单调递减区间为 $(-\infty,0)$ 和 $(\ln 3,+\infty)$．

2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，则它们是关于 $x$ 的方程

$$-\mathrm e^{2x}+4\mathrm e^x-a=0$$ 的两个实数解，于是 $a<4$，且 $$\begin{cases} \mathrm e^{x_1}+\mathrm e^{x_2}=4,\\ \mathrm e^{x_1}\cdot \mathrm e^{x_2}=a,\end{cases}\implies \begin{cases} \mathrm e^{2x_1}+\mathrm e^{2x_2}=16-2a,\\ \mathrm e^{x_1}+\mathrm e^{x_2}=4,\\ x_1+x_2=\ln a,\end{cases}$$ 记欲证不等式左侧为 $m$，则 $$\begin{split} m&=\left(-\dfrac 12\mathrm e^{2x_1}+4\mathrm e^{x_1}-ax_1-5\right)+\left(-\dfrac 12\mathrm e^{2x_2}+4\mathrm e^{x_2}-ax_2-5\right)+x_1+x_2\\ &=(a-8)+16-a\ln a-10+\ln a\\ &=(1-a)\ln a+a-2,\end{split}$$ 记 $g(x)=(1-x)\ln x+x-2$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac 1x-\ln x,$$ 该函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，注意到 $g'(1)=1>0$，$g'(2)=\dfrac 12-\ln 2<0$，于是 $g'(x)$ 有唯一零点 $x_0$，且 $x_0\in (1,2)$，因此函数 $g(x)$ 的极大值，也为最大值为 $$g(x_0)=(1-x_0)\ln x_0+x_0-2=(1-x_0)\cdot \dfrac{1}{x_0}+x_0-2=x_0+\dfrac1{x_0}-3<0,$$ 命题得证．

备注    其中用到了 $\ln x>1-\dfrac 1x$，令 $x=2$，可得 $\ln x>\dfrac 12$．