每日一题[3440]互斥与独立

在一个有限样本空间中，假设 $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac 1 3$，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互斥，则（       ）

A．$P(A\cup B)=\dfrac 2 3$

B．$P(\overline C\mid A)=2 P(A\mid\overline C)$

C．$P(\overline C\mid AB)=1$

D．若 $P(C\mid B)+P(C\mid\overline B)=\dfrac 1 2$，则 $B$ 与 $C$ 互斥

答案    BCD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，由于 $A,B$ 相互独立，于是

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)<\dfrac 23,$$ 选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，有

$$P(\overline C\mid A)=\dfrac{P(A\overline C)}{P(A)}=\dfrac{\frac 13}{\frac 13}=1,\quad P(A\mid \overline C)=\dfrac{P(A\overline C)}{P(\overline C)}=\dfrac{\frac 13}{\frac 23}=\dfrac 12,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，有

$$P(\overline C\mid AB)=\dfrac{P(A\overline CB)}{P(AB)}=\dfrac{P(AB)}{P(AB)}=1,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$\dfrac{P(BC)}{P(B)}+\dfrac{P(\overline BC)}{P(\overline B)}=\dfrac 12\iff 6P(BC)+3P(\overline BC)=1\iff 3P(BC)+3P(C)=1\iff P(BC)=0,$$ 因此s $B$ 与 $C$ 互斥，选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．