每日一题[3431]最大张角

正三棱锥 $P-ABC$ 和正三棱锥 $Q-ABC$ 共底面 $ABC$，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点 $P$ 和点 $Q$ 在平面 $ABC$ 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面 $ABC$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$，则当 $\alpha+\beta$ 最大时，$\tan (\alpha+\beta)=$ （       ）

A．$-\dfrac 1 3$

B．$-\dfrac 2 3$

C．$-1$

D．$-\dfrac 4 3$

答案    D．

解析    设球面球心为 $O$，正三角形 $ABC$ 的中心为 $H$ 且 $H$ 在线段 $OP$ 上，如图．

不妨设 $|OA|=2$，$|OH|=2\cos\theta$，$|HA|=2\sin\theta$，则

$$\tan\alpha=\dfrac{2-2\cos\theta}{\sin\theta},\quad \tan\beta=\dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta},$$ 因此 $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\dfrac{\dfrac{2-2\cos\theta}{\sin\theta}+\dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta}}{1-\dfrac{2-2\cos\theta}{\sin\theta}\cdot \dfrac{2+2\cos\theta}{\sin\theta}}=-\dfrac 43\sin\theta,$$ 因此当 $\alpha+\beta$ 最大时，$\tan(\alpha+\beta)=-\dfrac 43$．