每日一题[3410]成双入对

设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，$a_n+b_{n+1}=2 n$，$a_{n+1}+b_n=2^n$．设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和，则 $S_7=$ (       )

A．$110$

B．$120$

C．$288$

D．$306$

答案    A．

解析    设 $c_n=a_n+b_n$，根据题意，有

$$(a_n+b_{n+1})+(a_{n+1}+b_n)=2n+2^n\implies c_n+c_{n+1}=2n+2^n,$$ 于是 $$S_7=c_1+(c_2+c_3)+(c_4+c_5)+(c_6+c_7)=2+(4+4)+(8+16)+(12+64)=110.$$