每日一题[3405]基本放缩

已知函数 $f(x)=(a x+1)\mathrm e^x,f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，且 $f^{\prime}(x)-f(x)=2\mathrm e^x$．

1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线为 $y=k x+b$，求 $k,b$ 的值．

2、在 $(1)$ 的条件下，证明：$f(x)\geqslant k x+b$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=(ax+a+1){\rm e}^x,$$ 因此由 $f'(x)-f(x)=2{\rm e}^x$ 可得 $a=2$，因此 $f(0)=1$，$f'(0)=3$，所以所求切线方程为 $y=3x+1$，$k=3$，$b=1$．

2、欲证不等式即

$$\forall x\in \mathbb R,~(2x+1){\rm e}^x\geqslant 3x+1.$$ 当 $x\geqslant -\dfrac 12$ 时，有 $$(2x+1){\rm e}^x\geqslant (2x+1)(x+1)=2x^2+3x+1\geqslant 3x+1.$$ 当 $x<-\dfrac 12$ 时，有 $$(2x+1){\rm e}^x>2x+1>3x+1,$$ 因此不等式得证．