如图，三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 BB1C1C⊥ 底面 ABC，且 AB=AC，A1B=A1C．
1、证明：AA1⊥ 平面 ABC．
2、若 AA1=BC=2，∠BAC=90∘，求平面 A1BC 与平面 A1BC1 夹角的余弦值．
解析
1、取 BC 的中点 M，连接 MA,MA1．
因为 AB=AC，A1B=A1C，所以 BC⊥AM，BC⊥A1M，从而 BC⊥ 平面 A1MA．因为 A1A⊂ 平面 A1MA，所以 BC⊥A1A．又因为 A1A∥B1B，所以 B1B⊥BC，因为平面 BB1C1C⊥ 平面 ABC，平面 BB1C1C⋂ 平面 ABC=BC，且 B1B⊂ 平面 BB1C1C，所以 B1B⊥ 平面 ABC． 因为 A1A∥B1B，所以 AA1⊥ 平面 ABC，命题得证．
2、根据题意，有 A1C=A1B=√6，BC1=2√2，于是设平面 A1BC 与平面 A1BC1 的夹角为 φ，则根据三射线定理，有cos∠CBC1=cos∠CBA1cos∠C1BA1+sin∠CBA1sin∠C1BA1cosφ,
即√22=√32⋅1√6+12⋅√5√6⋅cosφ,
解得 cosφ=√155，因此所求余弦值为 √155．