每日一题[3396]递推方法

设离散型随机变量 $X,Y$ 的取值分别为 $\left\{x_1,x_2,\cdots,x_p\right\},\left\{y_1,y_2,\cdots,y_q\right\}$（$p,q\in\mathbb N^{\ast}$）．定义 $X$ 关于事件 $Y=y_j$ $(1\leqslant j\leqslant q)$ 的条件数学期望为

$$E\left(X\mid Y=y_j\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^p x_i P\left(X=x_i\mid Y=y_j\right),$$ 已知条件数学期望满足全期望公式 $$E(10)=\displaystyle\sum_{j=1}^q E\left(X\mid Y=y_j\right) P\left(Y=y_j\right),$$ 解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物 $A$ 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第 $1$ 天上午，实验人员向培养血中加入 $10$ 个 $A$ 的个体．从第 $1$ 天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，$A$ 的每个个体立即以相等的概率随机产生 $1$ 次如下的生理反应（设 $A$ 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：

① 直接死亡；

② 分裂为 $2$ 个个体．

设第 $n$ 天上午培养皿中 $A$ 的个体数量为 $X_n$．规定 $E\left(X_1\right)=10$，$D\left(X_1\right)=0$．

1、求 $P\left(X_2=4\right)$，$E\left(X_4\mid X_3=4\right)$．

2、证明：$E\left(X_n\right)=10$．

3、已知 $E\left(X_n^2\mid X_{n-1}=t\right)=t^2+t$（$t\in\mathbb N^{\ast}$）．求 $D\left(X_n\right)$，并结合第 $(2)$ 小题说明其实际含义． 附：对于随机变量 $X$，$D(10)=E\left(X^2\right)-E^2(10)$．

解析

1、事件 $X_2=4$ 发生当且仅当在第 $1$ 天内 $A$ 个体有 $2$ 个分裂且 $8$ 个死亡，所以

$$P\left(X_2=4\right)=\dbinom{10}2\left(\dfrac 1 2\right)^{10}=\dfrac{45}{1024}.$$ 在事件 $X_3=4$ 发生的条件下，如果在第 $3$ 天下午加入药物之后，有 $k$ 个个体分裂，则 $X_4$ 的取值为 $4+k-(4-k)=2 k$．所以 $X_4$ 的取值集合为 $\{0,2,4,6,8\}$，且 $$P\left(X_4=2 k\mid X_3=4\right)=\dbinom 4k\left(\dfrac 1 2\right)^4=\dbinom 4k{16},$$ 因此 $$E\left(X_4\mid X_3=4\right)=0\times\dfrac{1}{16}\dbinom 40+2\times\dfrac{1}{16}\dbinom 41+4\times\dfrac{1}{16}\dbinom 42+6\times\dfrac{1}{16}\dbinom 43+8\times\dfrac{1}{16}\dbinom 44=4.$$

2、类似于第 $(1)$ 小题的结论，可得在事件 $X_{n-1}=t$ 发生的条件下，如果在第 $n-1$ 天下午加入药物之后，有 $k$ 个个体分裂，则 $X_n$ 的取值为

$$t+k-(t-k)=2 k,$$ 在事件 $X_{n-1}=t$ 发生的条件下，令随机变量 $Z$ 表示第 $n-1$ 天下午加入药物之后分裂的个体数目，则 $Z\sim B\left(t,\dfrac 1 2\right)$ 且 $X_n=2 Z$．因此 $$\begin{split}E\left(X_n\mid X_{n-1}=t\right) & =\displaystyle\sum_{k=0}^l 2 k\cdot P\left(X_n=2 k\mid X_{n-1}=t\right)\\& =2\sum_{k=0}^l k\cdot P(Z=k)=2 E(Z)=2\times t\times\dfrac 1 2=t\end{split}$$ 设 $X_{n-1}$ 的取值集合为 $\left\{x_1,x_2,\cdots x_r\right\}$，则由全期望公式可知 $$\begin{split}E\left(X_n\right) & =\displaystyle\sum_{i=1}^r E\left(X_n\mid X_{n-1}=x_i\right) P\left(X_{n-1}=x_i\right)\\& =\sum_{i=1}^r x_i P\left(X_{n-1}=x_i\right)\\ &=E\left(X_{n-1}\right).\end{split}$$ 这表明 $\left\{E\left(X_n\right)\right\}$ 是常数列，所以 $E\left(X_n\right)=E\left(X_1\right)=10$．

3、根据第 $(2)$ 小题的结论可知

$$\begin{split}E\left(X_n^2\right) & =\displaystyle\sum_{i=1}^r E\left(X_n^2\mid X_{n-1}=x_i\right) P\left(X_{n-1}=x_i\right)\\& =\sum_{i=1}^r\left(x_i^2+x_i\right) P\left(X_{n-1}=x_i\right)=E\left(X_{n-1}^2+X_{n-1}\right)\\& =E\left(X_{n-1}^2\right)+10,\end{split}$$ 因此 $\left\{E\left(X_n^2\right)\right\}$ 是公差为 $10$ 的等差数列．又因为 $$E\left(X_1^2\right)=D\left(X_1\right)+E^2\left(X_1\right)=100,$$ 所以 $$E\left(X_n^2\right)=100+10(n-1),$$ 从而 $$D\left(X_n\right)=E\left(X_n^2\right)-E^2\left(X_n\right)=10(n-1),$$ 因此 $D\left(X_n\right)$ 随着 $n$ 的增大而增大，而 $E\left(X_n\right)$ 为定值 $10$．

其实际含义为药物的介入会使得微生物 $A$ 的种群数量越来越不稳定，种族灭绝或者种族急速繁殖的风险越来越大．