设离散型随机变量 X,Y 的取值分别为 {x1,x2,⋯,xp},{y1,y2,⋯,yq}(p,q∈N∗).定义 X 关于事件 Y=yj (1⩽j⩽q) 的条件数学期望为 E(X∣Y=yj)=p∑i=1xiP(X=xi∣Y=yj), 已知条件数学期望满足全期望公式E(10)=q∑j=1E(X∣Y=yj)P(Y=yj), 解决如下问题: 为了研究某药物对于微生物 A 生存状况的影响,某实验室计划进行生物实验.在第 1 天上午,实验人员向培养血中加入 10 个 A 的个体.从第 1 天开始,实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物.当加入药物时,A 的每个个体立即以相等的概率随机产生 1 次如下的生理反应(设 A 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化,不同个体的生理反应相互独立):
① 直接死亡;
② 分裂为 2 个个体.
设第 n 天上午培养皿中 A 的个体数量为 Xn.规定 E(X1)=10,D(X1)=0.
1、求 P(X2=4),E(X4∣X3=4).
2、证明:E(Xn)=10.
3、已知 E(X2n∣Xn−1=t)=t2+t(t∈N∗).求 D(Xn),并结合第 (2) 小题说明其实际含义. 附:对于随机变量 X,D(10)=E(X2)−E2(10).
解析
1、事件 X2=4 发生当且仅当在第 1 天内 A 个体有 2 个分裂且 8 个死亡,所以P(X2=4)=(102)(12)10=451024. 在事件 X3=4 发生的条件下,如果在第 3 天下午加入药物之后,有 k 个个体分裂,则 X4 的取值为 4+k−(4−k)=2k.所以 X4 的取值集合为 {0,2,4,6,8},且P(X4=2k∣X3=4)=(4k)(12)4=(4k)16,因此 E(X4∣X3=4)=0×116(40)+2×116(41)+4×116(42)+6×116(43)+8×116(44)=4.
2、类似于第 (1) 小题的结论,可得在事件 Xn−1=t 发生的条件下,如果在第 n−1 天下午加入药物之后,有 k 个个体分裂,则 Xn 的取值为t+k−(t−k)=2k,在事件 Xn−1=t 发生的条件下,令随机变量 Z 表示第 n−1 天下午加入药物之后分裂的个体数目,则 Z∼B(t,12) 且 Xn=2Z.因此 E(Xn∣Xn−1=t)=l∑k=02k⋅P(Xn=2k∣Xn−1=t)=2l∑k=0k⋅P(Z=k)=2E(Z)=2×t×12=t 设 Xn−1 的取值集合为 {x1,x2,⋯xr},则由全期望公式可知 E(Xn)=r∑i=1E(Xn∣Xn−1=xi)P(Xn−1=xi)=r∑i=1xiP(Xn−1=xi)=E(Xn−1). 这表明 {E(Xn)} 是常数列,所以 E(Xn)=E(X1)=10.
3、根据第 (2) 小题的结论可知 E(X2n)=r∑i=1E(X2n∣Xn−1=xi)P(Xn−1=xi)=r∑i=1(x2i+xi)P(Xn−1=xi)=E(X2n−1+Xn−1)=E(X2n−1)+10, 因此 {E(X2n)} 是公差为 10 的等差数列.又因为E(X21)=D(X1)+E2(X1)=100,所以E(X2n)=100+10(n−1),从而D(Xn)=E(X2n)−E2(Xn)=10(n−1), 因此 D(Xn) 随着 n 的增大而增大,而 E(Xn) 为定值 10.
其实际含义为药物的介入会使得微生物 A 的种群数量越来越不稳定,种族灭绝或者种族急速繁殖的风险越来越大.