每日一题[3396]递推方法

设离散型随机变量 X,Y 的取值分别为 {x1,x2,,xp},{y1,y2,,yq}p,qN).定义 X 关于事件 Y=yj (1jq) 的条件数学期望为 E(XY=yj)=pi=1xiP(X=xiY=yj), 已知条件数学期望满足全期望公式E(10)=qj=1E(XY=yj)P(Y=yj), 解决如下问题: 为了研究某药物对于微生物 A 生存状况的影响,某实验室计划进行生物实验.在第 1 天上午,实验人员向培养血中加入 10A 的个体.从第 1 天开始,实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物.当加入药物时,A 的每个个体立即以相等的概率随机产生 1 次如下的生理反应(设 A 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化,不同个体的生理反应相互独立):

① 直接死亡;

② 分裂为 2 个个体.

设第 n 天上午培养皿中 A 的个体数量为 Xn.规定 E(X1)=10D(X1)=0

1、求 P(X2=4)E(X4X3=4)

2、证明:E(Xn)=10

3、已知 E(X2nXn1=t)=t2+ttN).求 D(Xn),并结合第 (2) 小题说明其实际含义. 附:对于随机变量 XD(10)=E(X2)E2(10)

解析

1、事件 X2=4 发生当且仅当在第 1 天内 A 个体有 2 个分裂且 8 个死亡,所以P(X2=4)=(102)(12)10=451024. 在事件 X3=4 发生的条件下,如果在第 3 天下午加入药物之后,有 k 个个体分裂,则 X4 的取值为 4+k(4k)=2k.所以 X4 的取值集合为 {0,2,4,6,8},且P(X4=2kX3=4)=(4k)(12)4=(4k)16,因此 E(X4X3=4)=0×116(40)+2×116(41)+4×116(42)+6×116(43)+8×116(44)=4.

2、类似于第 (1) 小题的结论,可得在事件 Xn1=t 发生的条件下,如果在第 n1 天下午加入药物之后,有 k 个个体分裂,则 Xn 的取值为t+k(tk)=2k,在事件 Xn1=t 发生的条件下,令随机变量 Z 表示第 n1 天下午加入药物之后分裂的个体数目,则 ZB(t,12)Xn=2Z.因此 E(XnXn1=t)=lk=02kP(Xn=2kXn1=t)=2lk=0kP(Z=k)=2E(Z)=2×t×12=tXn1 的取值集合为 {x1,x2,xr},则由全期望公式可知 E(Xn)=ri=1E(XnXn1=xi)P(Xn1=xi)=ri=1xiP(Xn1=xi)=E(Xn1). 这表明 {E(Xn)} 是常数列,所以 E(Xn)=E(X1)=10

3、根据第 (2) 小题的结论可知 E(X2n)=ri=1E(X2nXn1=xi)P(Xn1=xi)=ri=1(x2i+xi)P(Xn1=xi)=E(X2n1+Xn1)=E(X2n1)+10, 因此 {E(X2n)} 是公差为 10 的等差数列.又因为E(X21)=D(X1)+E2(X1)=100,所以E(X2n)=100+10(n1),从而D(Xn)=E(X2n)E2(Xn)=10(n1), 因此 D(Xn) 随着 n 的增大而增大,而 E(Xn) 为定值 10

其实际含义为药物的介入会使得微生物 A 的种群数量越来越不稳定,种族灭绝或者种族急速繁殖的风险越来越大.

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