每日一题[3374]一箭双雕

已知直线 $y=k x$ 与曲线 $y=\ln x$ 相交于不同两点 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$，曲线 $y=\ln x$ 在点 $M$ 处的切线与在点 $N$ 处的切线相交于点 $P\left(x_0,y_0\right)$，则（       ）

A．$0<k<\dfrac 1{\mathrm e}$

B．$x_1 x_2=\mathrm e x_0$

C．$y_1+y_2=1+y_0$

D．$y_1 y_2<1$

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，联立直线与曲线方程，可得

$$kx=\ln x\iff k=\dfrac{\ln x}{x},$$ 考虑到函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x$ 的图象与性质，可得实数 $k$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$，选项正确； 对于选项 $\boxed{B}$，曲线 $y=\ln x$ 在点 $M,N$ 处的切线方程分别为 $$y=\dfrac{1}{x_1}x+\ln x_1-1,\quad y=\dfrac{1}{x_2}x+\ln x_2-1,$$ 联立两条切线方程可得 $$x_0=x_1x_2\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=x_1x_2\cdot k,$$ 而 $k\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$，选项错误； 对于选项 $\boxed{C}$，有 $$1+y_0=1+\left(\dfrac1{x_1}\cdot x_0+\ln x_1-1\right)=1+(kx_2+kx_1-1)=y_1+y_2,$$ 选项正确； 对于选项 $\boxed{D}$，有 $$\begin{cases} kx_1=\ln x_1,\\ kx_2=\ln x_2,\end{cases}\implies \dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac{1}{k},$$ 根据对数平均不等式，可得 $$\dfrac 1k\sqrt{y_1y_2}=\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{1}{k}<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 因此 $y_1y_2<1$，选项正确． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．