每日一题[3354]贪吃蛇

已知 $a,b,c,d,e\in\mathbb R$，且 $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1$．设

$$S=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|,$$ 则 $S$ 的最大值为（       ）

A．$1$

B．$\sqrt 2$

C．$4$

D．$2\sqrt 5$

答案    C．

解析    根据题意，$a,b,c,d,e$ 的圆排列中必然有相邻的同符号数，不妨设 $a\geqslant b\geqslant 0$，则 $S$ 取最大值时 $a,b,d\geqslant 0$，$c,e\leqslant 0$，进而

$$\begin{split} S&=(a-b)+(b-c)+(d-c)+(d-e)+(a-e)\\ &=2a+2d-2c-2e\\ &\leqslant \sqrt{2^2+2^2+2^2+2^2}\cdot \sqrt{a^2+d^2+c^2 +e^2}\\ &\leqslant 4,\end{split}$$ 等号当 $(a,b,c,d,e)=\left(\dfrac 12,0,-\dfrac 12,\dfrac 12,-\dfrac 12\right)$ 时可以取得，因此所求最大值为 $4$．