每日一题[3348]割圆术

2024年中科大入学考试数学试卷 #10

设圆 $x^2+y^2=1$ 的内接正 $n$ 边形的面积为 $A_n$，记 $Q_n=\dfrac{A_{4 n}-A_{2 n}}{A_{2 n}-A_n}$，$n\geqslant 3$．求证：$\dfrac 1 4<Q_n<\dfrac 1 3$ 并且 $\pi<\dfrac{A_{2 n}-Q_n A_n}{1-Q_n}$．

解析    根据题意，有 $A_n=\dfrac n2\sin\dfrac{2\pi}n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），设 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，则

$$Q_n=\dfrac{A_{4 n}-A_{2 n}}{A_{2 n}-A_n}=\dfrac{f(t)-f(2t)}{f(2t)-f(4t)}=\dfrac{4\sin t-2\sin 2t}{2\sin 2t-\sin 4t}=\dfrac1{2\cos^2t+2\cos t}\in\left(\dfrac 14,\dfrac{1}{\frac32+\sqrt 3}\right),$$ 其中 $t=\dfrac{\pi}{2n}$ 且 $t\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right]$，因此 $\dfrac 14<Q_n<\dfrac 13$ 成立． 进而 $$R_n=\dfrac{A_{2n}-Q_nA_n}{\pi(1-Q_n)}=\dfrac{\dfrac{\sin 2t}{2t}-\dfrac1{2\cos^2t+2\cos t}\cdot \dfrac{\sin 4t}{4t}}{1-\dfrac1{2\cos^2t+2\cos t}}=\dfrac{\sin2t(2\cos t+1)}{2t(2\cos t+\cos2t)},$$ 欲证 $R_n>1$（$n\geqslant 3$），即证当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right]$ 时，有 $$\sin 2x(2\cos x+1)-2x(2\cos x+\cos 2x)>0,$$ 记左侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=4\sin x(x+2x\cos x-3\sin x\cos x)=4\sin x\big((x-\sin x\cos x)+2\cos x(x-\sin x)\big)>0,$$ 结合 $g(0)=0$，命题得证．

备注    设 $B_n=\dfrac{A_{2 n}-Q_n A_n}{1-Q_n}$，$A_n,A_{2n},B_n$ 在 $Ox$ 轴上的对应点分别为 $P_n,P_{2n},Q_n$，则根据定比分点坐标公式，有 $\overrightarrow{A_{2n}B_ n}=Q_n\overrightarrow{B_nA_n}$．