已知 x2=2py（p>0）的焦点为 F，且经过 F 的直线被圆 (x−1)2+(y+32)2=9 截得的线段长度的最小值为 4．
1、求拋物线的方程；
2、设坐标原点为 O，若经过点 (2,0) 作直线 l 与抛物线相交于不同的两点 P,Q，过点 P,Q 作拋物线的切线分别与直线 OQ,OP 相交于点 M,N，请问直线 MN 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
解析
1、题中圆圆心为 A(1,−32)，半径 r=3，抛物线焦点坐标为 (0,p2)，由经过 F 的直线被圆截得的线段长度的最小值为 4，可得2√r2−|FA|2=4⟺p=1,因此抛物线的方程为 x2=2y．
2、设 P(2a,2a2)，Q(2b,2b2)，则过 P,Q 的切线方程分别为2ax=y+2a2,2bx=y+2b2,直线 OQ:y=bx，直线 OP:y=ax，因此M(2a22a−b,2a2b2a−b),N(2b22b−a,2ab22b−a),进而直线 PQ 的横截距s=2a⋅2b2−2b⋅2a22b2−2a2=2aba+b,直线 MN 的横截距t=2a22a−b⋅2ab22b−a−2b22b−a⋅2a2b2a−b2ab22b−a−2a2b2a−b=2aba+b,因此直线 MN 与直线 PQ 的横截距恒等，进而直线 MN 过定点 (2,0)．