每日一题[3341]伸缩为圆

已知 $F_1$ 为椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点，直线 $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} b$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\triangle A B F_1$ 的周长和面积分别是 $4+4 \sqrt{2}$ 和 $2$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、若 $P(2,1)$ 关于原点的对称点为 $Q$，不经过 $P$ 且斜率为 $\dfrac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于点 $D, E$，直线 $P D$ 与 $Q E$ 交于点 $M$，证明：点 $M$ 在定直线上．

解析

1、直线 $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} b$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，不妨设 $A\left(-\dfrac a{\sqrt 2},\dfrac b{\sqrt 2}\right)$，$B\left(\dfrac a{\sqrt 2},\dfrac b{\sqrt 2}\right)$，椭圆 $C$ 的离心率为 $e$，则结合题意以及焦半径公式，有

$$\begin{cases} \sqrt 2 a+\left(a+e\cdot\left(-\dfrac a{\sqrt2}\right)\right)+\left(a+e\cdot\left(\dfrac a{\sqrt2}\right)\right)=4+4\sqrt 2,\\ \dfrac 12\cdot \sqrt 2a+\dfrac{\sqrt 2}2b=2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2\sqrt 2,\\ b=\sqrt 2,\end{cases}$$ 于是椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}2=1$．

2、将椭圆伸缩变换成圆，设 $P,Q,D,E,M$ 在变换后的点分别为 $P',Q',D',E',M'$，如图．

在圆中，有 $P'Q'D'E'$ 为等腰梯形，于是对角线交点 $M'$ 在直径 $P'Q'$ 的垂直平分线上，回到原题，点 $M$ 在定直线 $y=-\dfrac 12x$ 上．