每日一题[3339]参数弦方程

已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$，过点 $P(4,0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $M, N$ 两点．

1、若直线 $l$ 的斜率 $k$ 存在，求 $k$ 的取值范围；

2、记直线 $A_1 M, A_2 N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，求 $\dfrac{k_1}{k_2}$ 的值； 设 $G$ 为直线 $A_1 M$ 与直线 $A_2 N$ 的交点，$\triangle G M N, \triangle G A_1 A_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最小值．

解析

1、双曲线的渐近线方程为 $y=\pm\dfrac 12x$，而过 $P(4,0)$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $M,N$ 两点，于是 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right)\cup\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．

2、设双曲线参数方程为 $\begin{cases} x=2\sec \theta,\\ y=\tan \theta,\end{cases}$ 设 $M,N$ 对应的的参数分别为 $2 \theta_1,2\theta_2$，则 $A_1,A_2$ 对应参数为 $\pi,0$，从而 $$\dfrac {k_1}{k_2}=\dfrac{\tan \theta_1}{\cot \theta_2}=\tan \theta_1\tan \theta_2=\dfrac{2-4}{2+4}=-\dfrac 13.$$