每日一题[3325]引参求最值

已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}3=1$ 的左顶点为 $A$，过点 $B(1,0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点，记 $\triangle APQ$ 的外接圆为圆 $N$．

1、当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求圆 $N$ 的方程；

2、求圆 $N$ 面积的最大值．

解析

1、不妨设 $P$ 点位于 $x$ 轴上方，当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，有 $P\left(1,\sqrt{\dfrac 83}\right)$，设圆 $N$ 的圆心 $N(t,0)$，半径为 $r$，则 $$|NA|=|NP|=r\implies |t+3|=\sqrt{(t-1)^2+\dfrac 83}=r,$$ 解得 $(t,r)=\left(\dfrac73,-\dfrac 23\right)$，于是所求圆 $N$ 的方程为 $\left(x+\dfrac 23\right)^2+y^2=\dfrac{49}9$．

2、设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，$PQ:x=my+1$，则 $AP$ 的垂直平分线 $$l_1:y=-\dfrac{x_1+3}{y_1}\left(x-\dfrac{x_1-3}2\right)+\dfrac{y_1}2\iff y=-\dfrac{x_1+3}{y_1}x-y_1\iff y=-\left(m+\dfrac 4{y_1}\right)x-y_1,$$ 同理，$AQ$ 的垂直平分线 $l_2:y=-\left(m+\dfrac 4{y_2}\right)x-y_2$，联立可得 $$N\left(\dfrac 14y_1y_2,-\dfrac m4y_1y_2-(y_1+y_2)\right),$$ 联立直线 $PQ$ 与椭圆方程，有 $$(m^2+3)y^2+2my-8=0,$$ 因此 $N\left(-\dfrac{2}{m^2+3},\dfrac{4m}{m^2+3}\right)$，于是圆 $N$ 的半径的平方 $$\begin{split} f(m)&=\left(-\dfrac{2}{m^2+3}+3\right)^2+\left(\dfrac{4m}{m^2+3}\right)^2\\ &=\dfrac{(m^2+1)(9m^2+49)}{(m^2+3)^2}\\ &=^{[1]}\dfrac{(11m^2+11)(9m^2+49)}{11(m^2+3)^2}\\ &\leqslant\dfrac{\left(\dfrac{(11m^2+11)+(9m^2+49)}2\right)^2}{11(m^2+3)^2}\\ &=\dfrac{100}{11},\end{split}$$ 等号当 $11m^2+11=9m^2+49$ 即 $m^2=19$ 时取得，因此所求面积的最大值为 $\dfrac{100\pi}{11}$．

备注    $[1]$ 引入参数 $t$，考虑 $$\dfrac 1t\cdot (tm^2+t)(9m^2+49)\leqslant \dfrac 1t\cdot \left(\dfrac{(t+9)m^2+(t+49)}2\right)^2,$$ 使 $(t+9):(t+49)=1:3$ 即可．