每日一题[3322]不可分多项式

记 $\left\{a_i\right\}_n=\left\{a_0,a_1,\cdots,a_i,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 1$）为各项均为整数且最后一项不为 $0$ 的 $n+1$ 项数列，其对应的多项式函数记为 $$G_{\left\{a_i\right\}_n}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n.$$

定义一    若存在整数 $t$ 使得 $G_{\{b_i\}_n}(x)=G_{\{a_i\}_n}(x+t)$，则记 $\left\{b_i\right\}_n=T_t\left\{a_i\right\}_n$．

定义二     若存在 $\left\{b_i\right\}_m$ 和 $\left\{c_i\right\}_k$，使得 $G_{\{a_i\}_n}(x)=G_{\left\{b_i\right\}_m}(x) G_{\left\{c_i\right\}_k}(x)$，则称 $\left\{a_i\right\}_n$ 是可约的．

定义三     对于 $\left\{a_i\right\}_n$，若存在质数 $p$，使得 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}$ 均是 $p$ 的倍数，$a_n$ 不是 $p$ 的倍数，$a_{n-1}$ 不是 $p^2$ 的倍数，则称 $\left\{a_i\right\}_n$ 是 $p$ 不可分的．

1、设 $\left\{a_i\right\}_3=\{2,3,0,1\}$，证明：$T_1\left\{a_i\right\}_3$ 是 $3$ 不可分的；

2、已知：若 $\left\{a_i\right\}_3=\left\{a_0,a_1,a_2,a_3\right\}$ 是 $p$ 不可分的，则 $\left\{a_i\right\}_3$ 不是可约的．证明：$\left\{a_i\right\}_3=\{2,3,0,1\}$ 不是可约的；

3、若 $\left\{a_i\right\}_n=\{121,11,0,\cdots,0,3\}$（其他末写出的各项都是 $0$）．证明：$T_t\left\{a_i\right\}_n$ 不是 $p$ 不可分的．

解析

1、此时 $G_{\{a_i\}_3}=2+3x+x^3$，于是 $$G_{T_1{\{a_i\}_3}}=2+3(x+1)+(x+3)^3=6+6x+3x^2+x^3,$$ 于是存在质数 $p=3$，使得除 $a_3=1$ 外的其余各项为 $p$ 的倍数，因此 $T_1\{a_i\}_3$ 是 $3$ 不可分的．

2、根据可约的定义容易证明 $\{a_i\}_n$ 可约等价于 $T_t\{a_i\}_n$ 可约，结合第 $(1)$ 小题的结论，命题得证．

3、根据题意，有 $$G_{\{a_i\}_n}=121+11x+3x^n,$$ 于是 $$\begin{split} G_{T_t\{a_i\}_n}&=121+11(x+t)+3(x+t)^n\\ &=(121+11t+3t^n)+(3nt^{n-1}+11)x+\sum_{i=1}^{n-1}\dbinom nit^ix^{n-i}+3x^n,\end{split}$$ 若命题不成立，则存在实数 $t$ 以及指数 $p$，使得 $$p\mid (121+11t+3t^n),\quad p\mid (3nt^{n-1}+11),\quad p\mid \dbinom nit^i,\quad p\nmid 3,$$ 若 $p\mid t$，则 $p\mid 11$，从而 $p=11$； 若 $p\nmid t$，则 $$p\mid \dbinom nit^i\Bigg|_{i=1}\implies p\mid nt\implies p\mid n,$$ 而 $p\mid (3nt^{n-1}+11)$，于是 $p\mid 11$； 而当 $p=11$ 时，有 $$121\mid (121+11t+3t^n)\iff p^2\mid a_{n-1},$$ 不符合题意，矛盾． 综上所述，命题得证．