每日一题[3295]状态转移

在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格 $O$ 出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第 $1$ 次运动，机器人可以运动到 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 中的某个方格）．将机器人走出斜方格阵视为失败，反之视为成功，则运动 $2025$ 次后机器人成功的概率为_____．

答案    $\left(\dfrac 34\right)^{2024}$．

解析    将图中方格分为四类：

第一类为 $O$ 所在的方格；

第二类为 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 所在的方格；

第三类为仅与 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 之一相邻的方格；

第四类为仅与 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 之二相邻的方格．

设运动 $n$ 次后到达这四类方格的概率分别为 $a_n,b_n,c_n,d_n$，则运动 $n$ 次后机器人成功的概率

$$p_n=a_n+b_n+c_n+d_n,$$ 递推关系为 $$\begin{pmatrix} a_{n+1}\\ b_{n+1}\\ c_{n+1}\\ d_{n+1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&\dfrac14&0&0\\ 1&0&\dfrac14&\dfrac 12\\ 0&\dfrac14&0&0\\ 0&\dfrac 12&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{n}\\ b_{n}\\ c_{n}\\ d_{n}\end{pmatrix} ,$$ 初值 $(a_0,b_0,c_0,d_0)=(1,0,0,0)$，进而消元，可得 $$a_{n+1}=c_{n+1}=\dfrac14b_n,\quad d_{n+1}=\dfrac 12b_n,$$ 于是 $$b_{n+1}=a_n+\dfrac14c_n+\dfrac 12d_n=\dfrac14b_{n-1}+\dfrac{1}{16}b_{n-1}+\dfrac14b_{n-1}=\dfrac9{16}b_{n-1},$$ 而 $b_1=1$，从而 $$b_n=\begin{cases} \left(\dfrac 34\right)^{n-1},&n~\text{为奇数},\\ 0,&n~\text{为偶数},\end{cases}$$ 进而 $$p_n=a_{n}+b_{n}+c_{n}+d_{n}=b_n+b_{n-1}=\begin{cases} \left(\dfrac 34\right)^{n-1},&n~\text{为奇数},\\ \left(\dfrac 34\right)^{n-2},&n~\text{为偶数},\end{cases}$$ 于是所求为 $p_{2025}=\left(\dfrac 34\right)^{2024}$．