每日一题[3286]和差与公约数

对于非负整数非空集合 $S$，若对任意 $x, y \in S$，或者 $x+y \in S$，或者 $|x-y| \in S$，则称 $S$ 为一个好集合，记 $|S|$ 为集合 $S$ 的元素个数．

1、求所有的元素均小于 $3$ 的好集合；

2、求所有满足 $|S|=4$ 的好集合；

3、若好集合 $S$ 满足 $|S|$ 为奇数，求证：$S$ 中存在元素 $m$，使得 $S$ 中所有元素均为 $m$ 的整数倍．

解析

1、取 $x,y$ 为 $S$ 中的最大数，则 $x+y\notin S$，于是 $0=|x-y|\in S$，进而枚举并验证可得所有的元素均小于 $3$ 的好集合有 $\{0\},\{0,1\},\{0,2\},\{0,1,2\}$．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，设 $S=\{0,a,b,c\}$，其中 $0<a<b<c$．根据题意，有 $b+c,c-b$ 中至少有一个在 $S$ 中，于是 $c-b=a$ 或 $c-b=b$． 若 $c-b=a$，验证符合题意； 若 $c-b=b$，则 $S=\{0,a,b,2b\}$，根据题意，$a+b,b-a$ 中至少有一个在 $S$ 中，因此 $b-a=a$，此时 $S=\{0,a,2a,4a\}$，$a+4a,4a-a$ 均不在 $S$ 中，不符合题意． 综上所述，所有满足 $|S|=4$ 的好集合形如 $\{0,a,b,a+b\}$，其中 $a,b$ 是不同的非负整数．

3、当 $S=\{0\}$ 时命题显然成立，考虑 $|S|=2n+1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的情形，设 $S=\{0,a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\}$，且 $0<a_1<a_2<\cdots<a_{2n}$，则

$$a_{2n}>a_{2n}-a_1>a_{2n}-a_2>\cdots>a_{2n}-a_{2n-1}>0,$$ 这些数均在 $S$ 中，补充定义 $a_0=0$，于是 $$a_k+a_{2n-k}=a_{2n},\quad k=0,1,2,\cdots,n,$$ 取 $k=n$，有 $2a_n=a_{2n}$，于是命题对 $n=1$ 时成立； 当 $n\geqslant 2$ 时，分别取 $k=2,\cdots,n$，有 $$a_{2n-1}-a_{2n-k}=a_k-a_1,$$ 而 $$a_{2n-1}+a_{2n-k}>a_{2n}\implies a_{2n-1}-a_{2n-k}\in S\implies a_k-a_1\in S,$$ 而 $$0<a_2-a_1<a_3-a_1<\cdots<a_n-a_1<a_n,$$ 因此 $$a_k-a_1=a_{k-1},$$ 进而 $a_k=k\cdot a_1$（$k=1,2,\cdots n$），再利用 $a_{2n-k}=a_{2n}-a_k$（$k=0,1,\cdots,2$），可得 $$a_k=k\cdot a_1,\quad k=1,2,\cdots,2n,$$ 因此 $S$ 存在元素 $a_1$，使得 $S$ 中的所有元素均为 $m$ 的整数倍． 综上所述，命题得证，且 $2n+1$（$n\geqslant 1$）元好集合 $S=\{0,a,2a,\cdots,2n\cdot a\}$．