每日一题[3284]三列格与等差列

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 一共有 $m^2$（$m>2$）项，$a_1, a_2, \cdots, a_m$ 成公差不为 $0$ 的等差数列，对任意的 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，$a_i, a_{i+m}, \cdots, a_{i+(m-1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$，其公差为同一个非零常数．

1、若 $m=3$，$a_1=1$，$a_4=3$，$a_9=9$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项之和；

2、证明：$a_1, a_{(m+1)+1}, a_{2(m+1)+1}, \cdots, a_{(m-1)(m+1)+1}$ 成等差数列；

3、从 $1,2, \cdots, m^2$ 中任取三个数 $p, q, r$（$p<q<r$），记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_p, a_q, a_r$ 也成等差数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac{3 m-6}{4 m^3-8 m}$．

解析

1、已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 一共有 $m^2$（$m>2$）项，$a_1, a_2, \cdots, a_m$ 成公差不为 $0$ 的等差数列，对任意的 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，$a_i, a_{i+m}, \cdots, a_{i+(m-1) m}$ 成等差数列，且对于不同的 $i$，其公差为同一个非零常数． 若 $m=3$，$a_1=1$，$a_4=3$，$a_9=9$，求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项之和； 证明：$a_1, a_{(m+1)+1}, a_{2(m+1)+1}, \cdots, a_{(m-1)(m+1)+1}$ 成等差数列； 从 $1,2, \cdots, m^2$ 中任取三个数 $p, q, r$（$p<q<r$），记 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_p, a_q, a_r$ 也成等差数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac{3 m-6}{4 m^3-8 m}$．

2、即证明数表中的对角线成等差数列．根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $$a_{(m+1)(k-1)+1}=a_{(k-1)m+k}=a_1+(k-1)d_2+(k-1)d_1,$$ 其中 $k=1,2,\cdots,m$，该数列成公差为 $d_1+d_2$ 的等差数列．

3、取数表中两个行号奇偶性相同，且列号奇偶性也相同的两个不同的格子，则这两个格子连线中点必然也是一个格子，形成一组三连格，这样就得到使得 $p, q, r$ 成等差数列且 $a_p, a_q, a_r$ 也成等差数列的一组 $(p,q,r)$． 下面我们来求三连格的数量，有两种，一种是行号或者列号相同的直三连格，另一种是行号和列号均不相同的斜三连格． $$\begin{array}{c|c|c}\hline m&\text{奇数}&\text{偶数}\\ \hline \text{奇数行}&\dfrac{m+1}2&\dfrac m2\\ \hline \text{偶数行}&\dfrac{m-1}2&\dfrac m2\\ \hline \text{直三连格}&2m\left(\dbinom{\frac{m+1}2}2+\dbinom{\frac{m-1}2}2\right)&2m\left(\dbinom{\frac{m}2}2+\dbinom{\frac{m}2}2\right)\\ \hline \text{斜三连格}&2\left(\dbinom {\frac{m+1}2}2+\dbinom {\frac{m-1}2}2\right)^2&2\left(\dbinom {\frac{m}2}2+\dbinom {\frac{m}2}2\right)^2\\ \hline \text{合计}&\dfrac{1}{8}(m^2-1)^2&\dfrac1{8}m^2(m^2-4)\\ \hline \end{array}$$ 因此 $$\begin{split} P_m&\geqslant \dfrac{\dfrac1{8}m^2(m^2-4)}{\dbinom{m^2}3}\\ &=\dfrac{3(m^2-4)}{4(m^2-1)(m^2-2)}\\ &=\dfrac{3(m-2)}{4m(m^2-2)}\cdot \dfrac{m+2}{m-\frac 1m}\\ &>1,\end{split}$$ 命题得证．

备注    考虑到 $\dfrac 43m^2\cdot P_m\to 1$，一个更优雅的结果是 $P_m> \dfrac{3}{4m^2+3m}$，此时 $$P_m-\dfrac 3{4m^2+3m}\geqslant\dfrac{3(3m^3-4m^2-12m-8)}{4m(4m+3)(m^2-1)(m^2-2)},$$ 当 $m=3,4,5$ 时，差距分别为 $\dfrac{1}{3360},\dfrac9{2660},\dfrac9{3680}$．而原题中差距分别为 $\dfrac{1}{32},\dfrac9{560},\dfrac{33}{3680}$．