每日一题[3272]首尾相连

如图：一张 $3 \times 3$ 的棋盘，横行编号 $1,2,3$；竖排编号 $a, b, c$，一颗棋子目前位于棋盘的 $c1$ 处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中，例如该棋子第一次移动可以从 $(c, 1)$ 移动到 $(a, 2)$ 或 $(b, 3)$，棋子每次移动到不同目的地间的概率均为 $\dfrac{1}{2}$．

1、① 列举两次移动后，该棋子所有可能的位置；

② 假设棋子两次移动后，最终停留到第 $1,2,3$ 行时，分别能获得 $1,2,3$ 分，设得分为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望；

2、现在于棋盘 $a3$ 处加入一颗棋子，它们运动规则相同，并且每次移动同时行动，求移动 $n$ 次后，两棋子位于同一格的概率．

解析

1、① 所有可能的移动为

$$\begin{split} c1\to a2\to c1;\\ c1\to a2\to c3;\\ c1\to b3\to a1;\\ c1\to b3\to c1;\end{split}$$ 因此两次移动后该棋子所有可能的位置为 $a1,c1,c3$；

② $EX=\dfrac 34\cdot 1+\dfrac 14\cdot 3=\dfrac 32$．

2、棋子的移动即在环

$$\underbrace{a1\to b3\to c1\to a2\to c3\to b1\to a3\to c2}$$ 中顺序或者逆序移动，假设移动 $n$ 次后，两棋子的距离为 $0,2,4$ 的概率分别为 $x_n,y_n,z_n$，则 $$\begin{cases} x_{n+1}=x_n\cdot \dfrac 12+y_n\cdot \dfrac 14,\\ y_{n+1}=x_n\cdot \dfrac12+y_n\cdot \dfrac 12+z_n\cdot \dfrac 12,\\ z_{n+1}=y_n\cdot \dfrac 14+z_n\cdot \dfrac 12,\end{cases}$$ 其中 $(x_1,y_1,z_1)=\left(0,\dfrac 12,\dfrac 12\right)$．所以 $$y_{n+1}=\dfrac12,\quad x_{n+1}=\dfrac 12x_n+\dfrac 18,\quad z_{n+1}=\dfrac 12z_n+\dfrac 18,$$ 进而 $x_n=\dfrac 14-\dfrac{1}{2^{n+1}}$，$y_n=\dfrac 12$，$z_n=\dfrac 14+\dfrac{1}{2^{n+1}}$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$，移动 $n$ 次后，两棋子位于同一格的概率为 $\dfrac14-\dfrac{1}{2^{n+1}}$．