每日一题[3269]同步旋转

已知平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $|\boldsymbol{a}-x \boldsymbol{b}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol b|$，$|\boldsymbol{a}-y \boldsymbol{c}| \geqslant|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|$ 成立，若 $|\boldsymbol{a}|=2$，则 $\boldsymbol{b} \cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$ 的取值范围是_____．

答案    $\left[-4,\dfrac 12\right]$．

解析    设 $\boldsymbol a=\overrightarrow{OA}$，$\boldsymbol b=\overrightarrow {OB}$，$\boldsymbol c=\overrightarrow {OC}$，则根据题意，有 $OB\perp AB$，$OC\perp AC$，问题转化为以 $OA$（$|OA|=2$）为直径的圆上两点 $B,C$，求 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的取值范围．

设射线 $OB,OC$ 对应的角分别为 $\alpha,\beta$，$\alpha,\beta\in\left[-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right]$（区间端点分别当 $B,C$ 与 $O$ 重合时取得），根据换底公式，有

$$\begin{split}\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}\\ &=4\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha-\beta)-4\cos^2\beta\\ &=2\cos\beta\cdot (\cos(2\alpha-\beta)+\cos\beta)-4\cos^2\beta,\end{split}$$ 于是 $$-4\leqslant -2\cos\beta-2\cos^2\beta\leqslant \overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{AC}\leqslant 2\cos\beta-2\cos^2\beta\leqslant \dfrac 12,$$ 左边等号当 $(\alpha,\beta)=\left(\dfrac{\pi}2,0\right)$ 时取得，右边等号当 $(\alpha,\beta)=\left(-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right)$ 时取得，因此所求取值范围是 $\left[-4,\dfrac 12\right]$．