每日一题[3264]焦半径与调和

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，离心率为 $e$，点 $P$ 在椭圆上，连接 $P F_1$ 并延长交 $C$ 于另一点 $Q$，连接 $Q F_2$，若存在点 $P$ 使 $|P Q|=\left|Q F_2\right|$ 成立，则 $e^2$ 的取值范围为_____．

答案    $\left[8\sqrt 2-11,1\right)$．

解析    不妨设 $a=1$，设 $|PF_1|=m$，$|QF_1|=n$，则 $|PF_2|=2-m$，$|QF_2|=2-n$，于是

$$|PQ|=|QF_2|\iff m+n=2-n\iff m=2-2n,$$ 而 $m,n\in[1-e,1+e]$，因此 $n$ 的取值范围是 $\left[1-e,\dfrac{1+e}2\right]$，根据椭圆的焦半径公式，有 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 2{1-e^2}\iff \dfrac{1}{2-2n}+\dfrac 1n=\dfrac{2}{1-e^2},$$ 从而 $$\dfrac{2}{1-e^2}\geqslant \dfrac{(1+\sqrt 2)^2}{(2-2n)+2n}=\dfrac{3+2\sqrt 2}2,$$ 解得 $e^2\geqslant 8\sqrt 2-11$，又当 $n\to 0,1$ 时，$e\to 1$，因此 $e^2$ 的取值范围是 $\left[8\sqrt 2-11,1\right)$．