每日一题[3263]斜率积定义

已知 $O$ 为坐标原点，$A, B, C$ 为椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上三点，且 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A C}=0$，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$，若 $4 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O D}^2$，则 $E$ 的离心率 $e$ 为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

B．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

C．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

D．$\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$

答案    D．

解析    根据题意，$A,B$ 关于坐标原点 $O$ 对称，$OA\perp AC$，$D$ 点横坐标是 $A$ 点横坐标的 $4$ 倍，设 $A(m,n)$，$B(-m,-n)$，$D(4m,0)$，则直线 $AB$ 斜率为 $\dfrac nm$，直线 $AC$ 斜率为 $-\dfrac mn$，而直线 $BD$ 斜率为 $\dfrac n{5m}$，根据椭圆的斜率积定义，直线 $AC$ 和直线 $BD$ 的斜率之积为 $e^2-1$，因此

$$e^2-1=-\dfrac 15\iff e=\dfrac{2\sqrt 5}5.$$