每日一题[3261]叠加态

已知正实数构成的集合 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$（$n \geqslant 2$），定义

$$A+A=\left\{a_i+a_j \mid a_i, a_j \in A, i \neq j\right\}.$$ 当集合 $A+A$ 中的元素恰有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $\Omega$．

1、判断集合 $A_1=\{1,2,4\}$，$A_2=\{1,2,4,5\}$ 是否具有性质 $\Omega$；

2、设集合 $B=\{1,3, p, q\}$（$p, q \in \mathbb N$，且 $3<p<q$）具有性质 $\Omega$，若 $B+B$ 中的所有元素能构成等差数列，求 $p, q$ 的值；

3、若集合 $A$ 具有性质 $\Omega$，且 $A+A$ 中所有元素能构成等差数列，问：集合 $A$ 中元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由．

解析

1、性质 $\Omega$ 的定义，即集合 $A+A$ 中的元素与 $(i,j)$ 是一一对应的（均为 $\dfrac{n(n-1)}2$ 个．因此对任意三元集 $A=\{a,b,c\}$（$a<b<c$），有

$$A+A=\{a+b,a+c,b+c\},$$ 均具有性质 $\Omega$，因此集合 $A_1$ 具有性质 $\Omega$； 而对于集合 $A_2$，有 $1+5=2+4$，因此不具有性质 $\Omega$．

2、先把 $B+B$ 中能够确定顺序的数排序为

$$1+3,1+p,1+q,3+q,p+q,$$ 此时只有 $3+p$ 的位置不确定，而 $1+p<3+p<3+q$，于是需要讨论 $3+p$ 与 $1+q$ 的大小关系． 若 $3+p<1+q$，则 $$(1+p)-(1+3)=(3+p)-(1+p)=(1+q)-(3+p),$$ 解得 $(p,q)=(5,9)$； 若 $3+p>1+q$，则 $$(1+p)-(1+3)=(1+q)-(1+p)=(3+p)-(1+q),$$ 解得 $(p,q)=(4,5)$； 经验证，这两组 $(p,q)$ 均符合题意，因此 $(p,q)=(5,9),(4,5)$．

3、若 $n$ 元集合 $A$ 具有性质 $\Omega$ 且 $A+A$ 中的所有元素能够构成公差为 $d$ 的等差数列，考虑 $A+A$ 中 $2n-3$ 个顺序固定的数：

$$\underbrace{a_1+a_2,a_1+a_3,\cdots,a_1+a_n}_{(n-1)~\text{个}},\underbrace{a_2+a_n,\cdots,a_{n-1}+a_n}_{(n-2)~\text{个}},$$ 其中最小的 $2$ 个数必然为 $a_1+a_2,a_1+a_3$，最大的两个数必然为 $a_{n-2}+a_n,a_{n-1}+a_n$，于是 $$d=(a_1+a_3)-(a_1+a_2)=(a_{n-1}+a_n)-(a_{n-2}+a_n)\implies a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2},$$ 因此 $n\leqslant 5$． 当 $n=5$ 时，此时 $a_3-a_2=a_4-a_3=d$，考虑 $A+A$ 中 $7$ 个顺序固定的数： $$\underbrace{a_1+a_2,a_1+a_3,a_1+a_4}_{\text{公差为}~d},a_1+a_5,\underbrace{a_2+a_5,a_3+a_5,a_4+a_5}_{\text{公差为}~d},$$ 还有 $a_2+a_3,a_2+a_4,a_3+a_4$ 没有排进去，注意到这 $3$ 个数成公差为 $d$ 的等差数列，因此它们在序列中连续出现． 若这 $3$ 个数排在 $a_1+a_4$ 和 $a_1+a_5$ 之间，则 $$d=(a_2+a_3)-(a_1+a_4)=(a_2+a_5)-(a_1+a_5),$$ 矛盾； 若这 $3$ 个数排在 $a_1+a_5$ 和 $a_2+a_5$ 之间，则 $$d=(a_1+a_5)-(a_1+a_4)=(a_2+a_5)-(a_3+a_4),$$ 矛盾； 根据第 $(2)$ 小题的结论，$n=4$ 符合题意．

综上所述，集合 $A$ 中元素个数存在最大值为 $4$．