每日一题[3254]参数弦方程

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，设 $P\left(x_0, y_0\right)$ 是第一象限内椭圆 $C$ 上一点，$P F_1, P F_2$ 的延长线分别交椭圆 $C$ 于点 $A, B$，连接 $O P, A B, A F_2$，$\triangle A P F_2$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、当 $P F_2 \perp x$ 轴时，求 $\triangle P A F_2$ 的面积；

3、分别记 $O P, A B$ 的斜率为 $k_1, k_2$，求证：$k_1k_2$ 为定值．

解析

1、由 $\triangle A P F_2$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ 可得 $4a=4\sqrt2$，于是 $a=\sqrt 2$，结合椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，可得 $b=1$，于是所求椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$．

2、当 $PF_2\perp x$ 轴时，根据通径长公式，有

$$\tan \angle PF_1F_2=\dfrac{|PF_2|}{|F_1F_2|}=\dfrac{1}{2\sqrt 2}\implies \sin\angle PF_1F_2=\dfrac 13,$$ 于是由椭圆的焦点弦长公式，有 $\triangle PAF_2$ 的面积 $$[\triangle PAF_2]=\dfrac 12\cdot \sin\angle PF_1F_2\cdot |PA|\cdot |F_1F_2|=\dfrac 12\cdot \dfrac 13\cdot \dfrac{2\sqrt 2}{1+\left(\dfrac 13\right)^2}\cdot 2=\dfrac{3\sqrt2}5.$$

3、设椭圆的半焦距为 $c$，椭圆的参数方程为 $\begin{cases} x=a\cos2\theta,\\ y=b\sin 2\theta,\end{cases}$ 且 $P,A,B$ 对应的参数分别为 $2\theta_0,2\theta_1,2\theta_2$，$t_0=\tan\theta_0$，$t_1=\tan\theta_1$，$t_2=\tan\theta_2$，则

$$k_1=\dfrac ba\cdot \tan2\theta_0=\dfrac ba\cdot \dfrac{2t_0}{1-t_0^2},$$ 而 $$k_2=-\dfrac ba\cdot \dfrac{1-t_1t_2}{t_1+t_2}=-\dfrac ba\cdot \dfrac{a^2-c^2}{a^2+c^2}\cdot \dfrac{1-t_0^2}{2t_0},$$ 于是 $$k_1k_2=-\dfrac{b^2}{a^2}\cdot \dfrac{a^2-c^2}{a^2+c^2},$$ 为定值 $-\dfrac 16$．