每日一题[3253]端点分析

已知函数 $f(x)={\rm e}^{x}-a x \sin x-x-1$，其中 $a \in\mathbb R$．

1、当 $a=0$ 时，证明：$f(x) \geqslant 0$ 恒成立．

2、若函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-1,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值，也为最小值 $f(0)=0$，从而 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立，命题得证．

2、根据题意，有 $f(0)=0$ 且 $f(\pi)={\rm e}^{\pi}-\pi -1>0$．函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-a(\sin x+x\cos x)-1,$$ 有 $f'(0)=0$，二阶导函数 $$f''(x)={\rm e}^x-a(2\cos x-x\sin x),$$ 有 $f''(0)=1-2a$，讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．

情形一     $a\leqslant \dfrac 12$．此时在 $x\in (0,\pi)$ 上有 $$f(x)\geqslant {\rm e}^x-\dfrac 12x\sin x-x-1>{\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1>0,$$ 不符合题意．

情形二     $a>\dfrac 12$．当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $$f'''(x)={\rm e}^x+a(3\sin x+x\cos x)>0,$$ 因此 $f''(x)$ 在该区间上单调递增，而 $$f''(0)=1-2a<0,\quad f''\left(\dfrac{\pi}2\right)={\rm e}^{\frac{\pi}2}+\dfrac{\pi}2a>0,$$ 所以 $f''(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 有唯一零点，因此 $f'(x)$ 在该区间上先单调递减再单调递增．当 $x\in\left[\dfrac{\pi}2,\pi\right)$ 时，有 $$f''(x)={\rm e}^x-2a\cos x+ax\sin x>0,$$ 从而 $f'(x)$ 在该区间上单调递增．这样我们就得到了 $f'(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上先单调递减再单调递增，而 $$f'(0)=0,\quad f'(pi)={\rm e}^{\pi}+\pi a>0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上先单调递减再单调递增，结合 $f(0)=0$，函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$．