每日一题[3252]切割线放缩

设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 均为非负实数，证明： $$\frac{a_{1}}{a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}+\frac{a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2} \cdots+a_{n}^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{a_{1}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}} \geqslant \frac{4}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}} .$$

解析    设 $S=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$，根据柯西不等式，有 $$LHS=\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{S-a_k^2}\geqslant \dfrac{\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{\dfrac{a_k^2}{S-a_k^2}}\right)^2}{a_1+a_2+\cdots+a_n},$$ 因此只需要证明当 $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$（$x_1,x_2,\cdots,x_n\geqslant 0$）时，有 $$\sum_{k=1}^n\sqrt{\dfrac{x_k}{1-x_k}}\geqslant 2,$$ 利用割线放缩，我们有 $$\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}\geqslant 2x,\quad x \in[0,1],$$ 等号当且仅当 $x\in\left\{0,\dfrac 12\right\}$，即 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 中有 $2$ 个 $\dfrac 12$，其余都是 $0$ 时取得，因此欲证明不等式得证，且等号取得的条件是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中有 $2$ 个相等的正数，剩余数均为 $0$．